小學數學五年級奧數 第３８周 最大最小問題
第三十八周 最大最小問題
專題簡析：
在日常生活中，人們常常會遇到“路程最近”、“費用最省”、“面積最大”、“損耗最少”等問題，這些尋求極端結果或讨論怎樣實現這些極端情形的問題，最終都可以歸結成為：在一定範圍内求最大值或最小值的問題，我們稱這些問題為“最大最小問題”。
解答最大最小問題通常要用下面的方法：
1，枚舉比較法。當題中給定的範圍較小時，我們可以将可能出現的情形一一舉出再比較；
2，着眼于極端情形，即充分運動已有知識和生活常識，一下子從“極端”情形入手，縮短解題過程。
例題1 把1、2、3、…、16分别填進圖中16個三角形裡，使每邊上7個小三角形内數的和相等。問這個和最大值是多少？
分析 為了方便描述，我們把圖中部分三角形注上字母，從圖中可以看出：中心處D中填的數和三條邊上的和沒有關系，因此，應填最小的數1。而三個角上的a、b、c六個三角形中的數都被用過兩次，所以要盡可能填大數，即填11——16。然後根據“三角形三邊上7個小三角形内數的和相等”這一條件，就可以計算出這個和的最大值了。
（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72
練習一
1，将5、6、7、8、9、10六個數分别填入圓圈内，使三角形每條邊上的和相等，這個和最大是多少？
2，把2——9分别填入下圖圓圈内，使每個大圓上的五個數的和相等，并且最大。
3，将1——9這九個自然數分别填進九個小三角形中，使每4個小三角形組成的三角形内的4個數的和都等于20。
例題2 有8個西瓜，它們的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那麼，最重的一堆應是多少千克？
分析 3堆西瓜的總重量是42.5千克，要使最重的一堆盡可能輕些，另兩堆就得盡可能重些。
根據42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。5千克組成，另外兩堆分别是14千克。
練習二
1，一把鑰匙隻能開一把鎖。現有9把鑰匙和9把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。最多要試開多少次才能配好全部鑰匙和鎖？
2，如果四個人的平均年齡是25歲，其中沒有小于17歲的，且四人年齡都不相同。那麼年齡最大的最多是幾歲？
3，五位同學捐款，他們捐的錢有3張1元的，4張2元的，3張5元的和3張10元的。這五位同學捐款數各不相同，問：捐款最多的同學至少捐了多少元？
例題3 一次數學考試滿分100分，6位同學平均分為91分，且6人分數互不相同，其中得分最少的同學僅得65分，那麼排第三名的同學至少得多少分？（分數取整數）
分析 除得65分的同學外，其餘5位同學的總分是91×6－65=481分。根據第三名同學得分要至少，也就說其他四人得分要盡量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三個不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。
練習三
1，一個三位數除以43，商a餘數是b（a、b都是整數），求a＋b的最大值。
2，如下圖，有兩條垂直相交的線段AB、CD，交點為E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3個點畫三角形，問：怎樣取三個點，畫出的三角形面積最大？
3，一次考試滿分100分，5位同學平均分是90分，且各人得分是不相同的整數。已知得分最少的人得了75分，那麼，第一名同學至少得了多少分？
例題4 一個農場裡收的莊稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一種莊稼需要先收割好、捆好，然後往回運輸。現由兩個小組分别承包這兩項工作，工時如下表（一種莊稼不割好、捆好，不準運輸），這兩組從開工到完工最少經過多少小時？
分析 先把各類莊稼從開工到完工所用的時間分别算出來：大豆7+5=12小時，谷子3+6=9小時，高梁5+1=6小時，小米5+9=14小時。平均每個小組用（12+9+6+14）÷2=20.5小時，但實際做不到。因此，根據各類莊稼所需時間相加，使其最接近20.5小時。
12+9=21小時是最少經過的時間。
練習四
1，三個老師為7位不同的扮演者化妝，這7位同學化妝需要的時間分别為8、12、14、17、18、23、30分鐘。如果三位老師化妝速度相同，問最少經過多少時間完成化妝任務？
2，甲、乙、丙三位同學為7棵樹苗澆水，由于各棵樹路程的遠近關系，需澆水的時間分别為：4、5、6、6、8、9、9分鐘。現三人各自同時開始，至少幾分鐘全部澆完？
3，有五人來理發，按發型所用時間是10、12、15、22和24分鐘。由兩位師傅同時為這五人理發，問怎樣安排，使五人理發和等候的時間總和最少，最少是多少分鐘？
例題5 A、B、C是三個風景點，從A出發經過B到達C要走18千米，從A經過C到B要走16千米，從B經過A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個風景點？它們之間相距多少千米？
分析 根據題意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用（18+16+24）÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。B、C兩個風景點的距離最近，隻相距5千米。
練習五
1，人民路兩側有三家大商店，從甲店經過乙店到丙店要走300米，從乙店經過丙店到甲店要走350米，從丙店經過甲店到乙店要走250米。哪兩家店之間的距離最近？相距多少米？
2，在期中測試中，小華語文和數學平均成績是96分，數學和作文平均成績是88分，語文和作文平均成績是86分。求小華的這三門功課哪門得分最高，是多少分？
3，十個參賽者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，後6人的平均分是80分。那麼第5個和第6個人的平均分是多少分？
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