初中幾何模型訓練05之輔助線添加
其中幾何的難點之一是添加輔助線，輔助線的添加并非無規律可尋。今天周老師就以初二中常見的“半角模型”，教同學們如何利用旋轉思想，更快速更準确地添加輔助線，從而解決問題。
模版
手拉手模型
那麼“手拉手模型”如何用旋轉全等變換、轉換線段來理解呢？
例2：（1）如圖1，銳角△ABC中，分别以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由.
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長.
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此題是我們經常遇到的“手拉手模型”，第一問中兩個等腰三角形“大手拉小手”全等易證。而第二問我們需要去模仿，嘗試添加輔助線去構造另一個等腰直角三角形從而産生“手拉手模型”。
那麼我們如何利用旋轉思想分析第二問呢？
[分析]
求線段長度多用勾股定理，BD不在直角三角形中無法直接求出。結合“AC=AD”，所以旋轉含有線段BD的△ADB。
利用“AD=AC”，起始位置AD，目标位置AC，将△ADB繞着點A順時針旋轉90°。故輔助線添加：作點B’使得AB’=AB且AB’⊥AB，易證△ABD≌△AB’C，得BD=B’C。△B’AB是等腰直角三角形求得BB’，最後證明△B’BC是直角三角形利用勾股定理求得線段長度。
答案：√107
練習3：如圖，△ABC是等邊三角形，三角形外有一點D，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則CD的長為.
[分析]
求線段長度多用勾股定理，CD不在直角三角形中無法直接求出。故轉換CD位置，選擇旋轉含有線段CD的△ADC。
利用“AC=AB”此天然條件，起始位置AC，目标位置AB，将△ADC繞着點A順時針旋轉60°。故輔助線添加：作點D’使得AD’=AD且∠DAD’=60°，證明△ACD≌△ABD’，得CD=BD’。由于60°的等腰三角形是等邊三角形，得AD=DD’。三條線段AD、BD、CD轉化到△BDD’中，證明△BDD’是直角三角形利用勾股定理求出線段長度。
[思考]
①我們利用“AC=AB”這個“共頂點等線段”的突破口将△ADC繞點A旋轉變化，那麼同樣的，“AC=BC”，是否也可以利用這個“共頂點等線段”的條件将△ADC繞着點C旋轉呢？
②含有線段CD的還有△BDC，那麼“BC=BA”，“BC=AC”，嘗試将△BDC分别繞着點B、點C旋轉，是否也是兩種不同的解法，同學們動手畫圖嘗試一下吧！
③更深入的思考，如果轉化AD、BD的位置，旋轉△BAD，“AB=AC”，“AB=CB”，這也是給旋轉提供了天然條件，此解法最後證明△CDD’為直角三角形，這裡同學們需要去思考一下怎麼證明哦。
綜合6種方法來看，最終我們都能成功轉化線段，并結合題意證明直角三角形求出線段長度。但是由于題目條件給了∠ADC=30°，并且目的是求CD，所以綜合條件與△ADC關系最為緊密，所以嘗試旋轉△ADC最具有目的性。
答案：4
練習4：如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF。
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，當點D在線段BC的延長線上時，說明BD與CF之間的關系。
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什麼條件時，CF⊥BC（點C.F不重合），并說明理由。
[分析]
第一問是我們常見的“手拉手模型”，利用全等易證。第二問中，條件相對分散無法直接求出∠ACB，嘗試将∠ACB轉化，含有∠ACB的是△ACD，那麼正方形中邊長“AD=AF”，此“共頂點，等線段”創造了旋轉的天然條件。
起始位置AD，目标位置AF，将△ACD繞着點A逆時針旋轉90°。故輔助線添加：作點C’使得AC’=AC且AC’⊥AC，易證△ADC≌△AFC’，得∠ACD=∠AC’F。需要證明C’、F、C在同一直線上，那麼△ACC’為等腰直角三角形，最後求出角度。
幾何是初中數學非常重要的内容，
一般會在壓軸題中進行考察，
如果掌握幾何模型及其構造方法，
能為考試節省不少時間，
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