導數——微積分的密碼，掌握了導數，媽媽再也不用擔心我的高數
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初學微積分，最關鍵的點是導數。
有的同學是通過運動學認識導數的，瞬時速度v就是位移s=f(t)的導數。
有的同學是從切線的斜率入手學習導數的，如下圖。
對于曲線y=f(x)的割線MN，當MN繞N點轉動使得點M無限接近N點或∠φ無限接近∠ɑ，割線MN的斜率的極限值k=tg∠ɑ（過N點的切線的斜率）即為函數y=f(x)的導數。
由此，導數有這樣的定義：
當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。記作y'或f'(x)。
即
從上面的式子可以看出來，導數是個極限值。可能是極限求值的過程天然地具有動态屬性，使得許多同學本能的将導數與“運動的”和“變化的”聯系起來。這當然是正确的，書上也是這樣講的嘛。
但是，導數也有靜态的一面，它可以幫助我們更好地理解微分與積分的互逆關系。
我們以一個簡單的函數y=x²為例，求它的導數：
我們用0來替代無窮小△x，并假定0可以被除（0當然是不能被除的，僅是假定）。那麼，不用極限運算，也可以得出它的導數：
看，結果是一樣的。
對于導數計算中的無窮小△x，我們可以有另一種理解，它是可以被除的0。從空間角度來講，求函數的導數這件事，就發生在一個點那麼小的空間裡，尺度大小接近于0，連局部線性化都算不上（微分f'(x)△x才是局部線性化的結果，而且這個△x并不接近于0）。
我們完全可以把一個函數的導數，看作是構成函數曲線的各點的狀态，而且是靜态的。這種狀态在平面坐标系是看不見的，我們需要給它增加一個維度。
将函數F(x)=x²放到三維坐标系中，在X0Y平面上繪制函數曲線F(x)=x²。然後，在曲線y=x²上向Z軸方向繪制直線，長度等于它的導數f(x)=2x的值。将這些直線投影到X0Z平面上，會得到一個三角形，如下圖：
為了方便觀察，我們再給一個Z軸朝上的：
這個三角形恰好是由導函數f=2x和X軸在區間x∈[0，3]上圍合出來。
可見，導函數f(x)和原函數F(x)是一一對應的關系。
這樣來看，微積分也很簡單的嘛。将微積分原理解構為三個部分：導函數f(x)負責描述過程，打通導函數f(x)與函數F(x)的對應關系，原函數F(x)負責運算。
學好高數第一步：讓我們愉快地求導吧！
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