學習乘法，請教會孩子畫圖
今天來談談畫圖這件事。能用算式、圖形、表格表達數學關系是一種能力，也是一種訓練方法。多種表達方式有助于兒童深入理解一個概念，同時會更加有利于進入中學後學習代數。
數形結合不僅僅是一種思想，更可以看成是一種訓練方式，理應在小學階段就重視起來。
理論支持：除了解決問題外，熟練掌握代數還包括在數學信息的不同表達方式中（包括方程、圖、表和文字）形成、推理以及轉換表達方式的能力。這些技巧被稱為“表征流暢”（Representational Fluency）。——《兒童思維發展》西格勒但我們小學階段由于過份重視計算的“術”，包括速度和進度，沒有太多時間和精力花費在幫助孩子建立良好的“數形結合”的能力上，所以大部分學生都沒有建立良好的表征能力（甚至連算式表征能力都有問題），這會影響到孩子對概念理解的完整度和深度，當然更重要的是（在我看來）思考的方式沒有得到優化提升。
我在三階段入門測試中設計了這樣一道題目：
至少一半以上的孩子不能觀察出圖形與算式之間的規律；有一半孩子第1小題的圖能夠畫對，但第2小題的圖不能正确的表達出來；其中能夠用圖表達出被13整除的孩子，也隻有極個别能夠從第1小題的圖轉化而來。
一些孩子用下面這樣的圖來表示能被13整除（我模仿孩子畫的示意圖），與第1小題的圖完全無關：
4*13是我寫上的，很多孩子畫出一堆堆的“13”，但并沒有把它們組織成一個矩形，他們可能更加側重于讓你一眼看出“13”，因為兩行5加一個3更加一目了然，卻忽視了乘法結構（這也是課本的問題，很多圖式忽視了結構性）。
有些孩子能夠把第2小題與第1小題聯系起來，畫出清晰的矩形圖，比如下面這樣的圖：
還有的孩子不僅可以畫出這樣的矩形圖，而且還試圖表示出第1小題的圖與第2小題圖之間的關系，是如何組合到一起的：
我依稀記得似乎隻有一個孩子能夠看出，第1小題裡面的一組圖旋轉180度後可以與另一組圖嵌合形成4*13。
那些能夠通過圖形觀察出被哪些數整除的孩子，在四年級這個階段，已經很了不起了。而五年級的孩子由于已經學習了數的整除，大多數會從計算結果去推理，而不是圖的角度。
除了這個測試的結果，包括通過其他年級孩子的錯題，解題思路分析來看，在早期剛剛學習乘法的時候，要是能夠嵌入對乘法結構的圖式訓練是一件極為重要的事，因為這樣可以幫助他們對乘法的理解更加深入。實際上，我之所以設計這樣的測試，正是因為發現大部分兒童在這方面的欠缺，兒童對于“數”與“形”的認識理解是剝離的，盡管他們可能能夠看懂書本上的圖，但他們不會畫，也不會思考其結構上的關聯（但其實他們明明是可以的）。
喬·博勒在《這才是數學》中舉過這樣一個例子：
如果我們不用幾何的方式表達，也可以讓孩子寫出所有兩個數相乘積等于20的乘法算式，不過通過結合圖形，我們更容易讓孩子觀察到“此消彼長”的規律。
如果根據上圖的提示，用枚舉法，讓孩子依次算出每個矩形的面積，長寬擴大兩倍後也都算出每個矩形的面積，是通過比較面積（一個個數），來發現其中的規律。
如果我們讓孩子用積木擺出來，或者畫出這樣的圖，是通過圖形的變化規律，結合乘法結構來發現其中的規律和聯系。
無論你畫出一個怎樣的矩形，長寬擴大2倍，都意味着我們要增加三個同樣大小的矩形。因此面積可以看成是圖中陰影部分面積的4倍，或者說是（2*2）個這樣的矩形。我們同樣可以通過代數的方式，從面積公式的推理中獲得。
這種方式需要兒童既對圖形的組合熟悉（包括非标準單位測量的經驗），又對乘法結構熟悉，以及由此深化對面積的理解。同理我們對于體積也可以如此操作。
要達到熟練運用，表征流暢的程度，我的建議是，如果有條件（孩子适齡家長有精力），父母應該在兒童學齡前開始就注重讓兒童觀察圖形構成的規律，可以通過擺積木，或者任何你手邊有的材料，都可以構成有規律的圖形，下面這個視頻就是一個例子，視頻中采用了多種常見的玩具（道具），不需要采用特殊教具，就能讓兒童認識正方形與三角形的圖形模式，在學齡前時期，雖然我們也可以增加一些數量關系上的引導，但重點仍然是落在“形”的模式規律上。
選自低幼數學啟蒙基礎級課程
再來看小學生學習乘法時，我們可以采取的一些畫圖方式：
類包含的結構圖是最早可以采用的，不管你畫矩形也好，畫圓圈也好，隻要能夠表現乘法的層級結構，都可以（我個人傾向于用矩形表示，會更加清晰看出層次性）。
其次就是點陣圖（方陣圖），類似前面測試題中畫小圓圈這樣的方式，你畫成“點”，“小三角形”，或者任何你覺得比較順手的圖形都可以，在這樣的方格紙中進行就可以。
再來看呈現的幾種圖，第一種圖，由于隻有一層結構，所以你可以看成是點陣圖（隻不過我用一個個小方塊來表示），在剛剛學習乘法的時候就可以采用，也很容易去講解交換律，這種形式也是最接近實物的形式，和前面視頻中低幼兒童采取的擺實物是類似的。
後面我們就可以抽象為“表格”形式，也可以理解為把乘法與面積模型結合起來，更能體現出數形結合的特點。
進而這種“矩形”畫格子的圖形，可以用來理解分數，以及比例關系。這個過程中圖形可以很好的幫助孩子理解“整體”，以及“整體部分的相對性”。
很多人覺得，課本上有啊，老師上課也講過，但是我不認為那是一種訓練，很多時候教師（課本）隻是單方面從教學的角度，把這種形式作為教師的技巧，而并沒有上升到針對兒童的“訓練”。
訓練就包括了：
讓兒童認識這樣的圖； 模仿這樣的圖；用這樣的圖來表達數學關系； 在做題的時候要求孩子畫圖；
針對不同階段兒童采取不同抽象水平的圖式；
這樣訓練的目的：
一方面是為了幫助兒童理解概念，同時也可以通過畫圖來考核兒童理解到什麼程度，通過系統和漸進式的訓練更加目标集中地推進兒童抽象思維的發展。最新文章
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