問題背景
(以上題目來源于網絡)
01
巧借旋轉、翻折構造全等三角形
借助∠EAF=45°,借助翻折、旋轉等運動,構造全等三角形,從而将原來不在同一直線(同一三角形)的三條線段轉化在同一直線(同一直角三角形)中,尋找線段間的數量關系。
本題的第一問需要證明EF=BE+DF,
由于三條線段都不在一直線上
,因此借助
∠EAF=45°
,通過
旋轉△ABE
,
利用兩次三角形全等
,
将線段EF、DF和BE都轉化到線段PF上
,因此達到線段的轉化。
本題的第三問涉及到了“
一條線段的平方等于另兩條線段的平方和
”,因此聯想
構造直角三角形
,借鑒第一問的方法,可以
通過旋轉構造全等三角形
,将所有線段轉化到
直角△DQN
中,利用
勾股定理
證明線段間的數量關系。
同樣,借助翻折也可以構造直角三角形,方法如下:
在等腰直角三角形中同樣适用
本題的第四問同樣涉及到了線段的平方和,
但是左邊是2倍的平方和,因此聯想到“√2”
,即聯想到等腰直角三角形,因此本題的關鍵在于
構造全等三角形和直角三角形,同時要發現其中隐含的等腰直角三角形
。對于另一種情況,采取同樣的構造方法。
本題的第六問涉及到了線段間的數量關系。因此需要将BA和BE轉化到一條線段上,借助旋轉,構造全等三角形,再根據等腰直角三角形的性質,進行進一步的轉化。(其中一組等邊利用第五題的結論得到)
02
構造相似三角形
本題的第二問涉及到了角相等的證明,根據第一問可以得到一組等角。但是
另一組角需要利用圖中豐富的“斜X型相似三角形”進行轉化
。
本題的第五題要證明△ANE為等腰直角三角形,聯想與△ACD相似,通過邊的轉化,可以
利用△ACE與△ADN相似得到AE:AN=√2
,因此本題通過兩次相似進行證明。
本題的第七題和第八題借助第五題的結論,通過
相似三角形對應邊成比例,得到相應線段的比值
。
本題的第十一題利用相似三角形的性質“
相似三角形的面積比等于相似比的平方
”,得到相似三角形間的數量關系。
03
借助平行線分線段成比例定理
本題的第九題通過作平行線,
借助平行線分線段成比例定理證明中點
。
本題的第十題在第九題的基礎上,結合等腰直角三角形的性質,證明線段間的倍半關系。
END
有話要說...