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【存在性系列】菱形存在性問題

菱形是一種特殊的平行四邊形,和平行四邊形相比較而言多了鄰邊相等,或者對角線互相垂直等特點。因此,我們根據這些特點來處理菱形的存在性問題

01理論準備

菱形在平面直角坐标系中需要滿足以下條件:

注意2中兩點距離公式可以利用勾股定理推導

以上的等量關系我們知道,菱形的存在性問題最多存在3個變量。因此,在處理的時候關鍵是建立變量之間的等量關系

02引例

如圖,在坐标系中,A點坐标(-1,1),B點坐标為(3,4),點Cx軸上,點D在平面中,求D點坐标,使得以ABCD為頂點的四邊形是菱形

【解題策略一】等腰+對角坐标等量關系

設D的坐标為(m,n),C的坐标為(a,0)

【解題策略二】平行四邊形+領邊相等

【點評】此方法可以實現“盲解”,即不用畫圖,即可實現求解。但是,我們算出的點需要進行一定的驗證,看看是否滿足實際的條件才行.

03例題精講

1.如圖,抛物線y=x2-2x-3x軸交于A,B兩點(A在點B的左側),與y軸交于點C,P是直線y=x+1上一動點,點Q在平面内,是否存在以點P,Q,A,C為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點P的坐标,若不存在,說明理由

【兩定兩動】坐标軸動點+平面動點

【兩定兩動】對稱軸動點+平面動點

【兩定兩動】斜線動點+平面動點

P為頂點時

此時F與B重合,不符合題意

04小結


通過上面的例題我們可以發現,無論動點在什麼位置。菱形存在性問題,一般的處理思路是先構造等腰三角形,然後根據對角頂點等關系求解。



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