初中數學之平面幾何的模型與方法系列分享（一）“兩形”之等邊三
幾何是初中數學中非常重要的内容，在中考中占分值約40%以上。而掌握幾何模型能夠為考試節省不少時間，這次周老師整理了常用的系列幾何模型方法，一定要認真掌握哦~
針對中考幾何的三個重點（特殊結論、不變性質和變化規律），學生在學習過程中，又需要着重培養基本幾何計算能力和基本幾何證明能力。在幾何計算方面，需要重點掌握的是：三大幾何計算工具（勾股、相似、面積法）；在幾何證明方面，需要重點掌握的是：三大幾何變換工具（平移、旋轉、軸對稱）；此外，計算與證明綜合，需要重點掌握的是：兩形（等邊三角形和正方形）、兩線（中點線和角分線）和一圓（包括以圓為載體的綜合計算，和以輔助圓為重點的幾何證明）。
總結一下就是：三工具+三變換+兩形+兩線+一圓（簡稱33221）
對于大多數學生來說，掌握這個“33221”就足夠應付中考幾何了。作為老師，我們完全可以就圍繞這個“33221”來建立基本的中考幾何複習體系，具體學習順序可以根據不同地域的不同情況來設計。
在掌握了“33221”的基礎上，我們還需要更進一步，學習和研究以下三個專題：
1、從幾何構圖與命題的角度研究幾何模型；2、幾何最值問題（單條線段最值和多條線段最值）；
3、動态幾何問題；
從而，最終掌握我們一開始提出的中考幾何的三個重要方向：掌握圖形運動變化過程中的特殊結論、不變性質和變化規律。關于數學思想方法，我曾經做過一個“四維一體的金字塔模型”講座，後續也會分享給大家。
本期内容：
初中數學之平面幾何的模型與方法系列分享（二）“兩形”之等邊三角形
等邊三角形和正方形是最重要的兩個基本圖形，也是許多幾何證明題的出題載體。掌握這兩個圖形相關的模型與方法尤其重要。本篇文章将會分享和“等邊三角形”相關的幾何模型，而和等邊三角形相關的内容又可以分為：1、一個等邊三角形相關的幾何模型；2、兩個等邊三角形相關的幾何模型。對于等邊三角形的模型研究，我們首先從一個等邊三角形和一個點的位置關系開始研究。（1）如圖，有一個點D在等邊三角形的一條邊上。
我們看看這個基本圖形可以出現什麼樣的結論呢？大家都知道，等邊三角形也是旋轉的基本載體，我們可以利用旋轉來進行研究。将三角形△ABD逆時針旋轉至△ACE,如下圖：
這樣我們易證△ADE是等邊三角形，AD=DE，同時，BD=CE，這樣我們把AD、BD、CD三條線段“轉移”到了一個三角形△DCE中。在同一個三角形中的三條線段，我們可以出什麼題目呢？比如三邊關系，CD+CE>DE，也就是說在原圖形中，CD+BD>AD。
此外，還可以考察長度計算。我們容易證明∠DCE=120度，如果已知CD和CE兩邊的長度，就可以求出DE的長度，也就是說，原圖形中，可以命題：已知CD和BD的長度，求AD的長度。（2）如圖，有一個點D在等邊三角形的内部，連接AD、BD、CD。
像這樣，一點在等邊三角形的内部，我們首先想到的應該是“費馬點問題”：當點D滿足什麼條件時？AD+BD+CD最小。
不過“費馬點問題”主要是在一個普通三角形内考察，在等邊三角形這裡就不用探讨了。在《旋轉》部分，我們會單獨講到費馬點問題。
好，我們現在依然像第一種情況一樣，利用旋轉來看看可以如何命題。比如下圖，我們将△ADC順時針旋轉至△AEB：
易證△ADE是等邊三角形，AD=DE,這樣我們就把BD、CD、AD三條線段“轉移”到了一個△BDE中。這時，我們可以出什麼題目呢？可以考察勾股定理啊。如果這三條邊的長度剛好滿足勾股定理，那麼我們就能根據勾股定理的逆定理導出直角，從而可以利用三角形函數或者特殊關系導出45度、30度或60度。
比如，如果能夠導出∠DEB=90度，因為△ADE是等邊三角形，∠AED=60度，這樣就知道∠AEB=150度，也即∠ADC=150度。
同時，用剛才的方法求出∠ADC的度數之後，我們還可以利用勾股定理求出等邊三角形的邊長AC。如下圖：延長CD，點A做AF垂直于CD.
最後，除了研究邊的關系，這個模型也可以研究角度的關系。比如，已知點D對三條邊的“張角”-∠BDC、∠ADB、∠ADC的度數或比例關系，求以AD、BD、CD為邊的三角形三個内角的度數或比例關系。關于這部分的内容我就不做詳細講述了，請各位老師自己進行研究。
所以，當一個點D在等邊三角形内部的時候，我們至少有3種命題方式：1) 已知AD、BD、CD三條線段的長度或者比例關系（滿足勾股定理），求∠ADC及BC；2) 已知∠ADC（150度或135度等特殊角度），求AD、BD、CD三條線段的關系；3) 已知∠BDC、∠ADB、∠ADC的度數或比例關系，求以AD、BD、CD為邊的三角形三個内角的度數或比例關系。
（3）如圖，有一個點D在等邊三角形的外部，連接AD、BD、CD。
這是我們本篇文章中最重要的一種情況，會産生非常重要的一個模型。我們來一起思考和推導，還是利用旋轉來看看将會出現什麼情況。
如圖，我們将△ACD順時針旋轉至△ABE，連接DE。
此時，我們知道△ADE是等邊三角形，AD=ED，又CD=BE，于是，AD、BD、CD三條線段轉移到了一個△DBE中。可以如何命題呢？我們最容易想到的就是當E、B、D三點共線。
此時，可以導出兩個重要結論：1) AD＝BD＋CD2) ∠ADB＝∠ADC＝６０度(或AD平分∠BDC)現在，讓我們來重新梳理一下這個重要的模型。
模型描述：一個等邊三角形外部，有一個角∠BDC＝120度。
反過來，關于這個模型的證明方法，我們又可以從四個方向來證明：i. 旋轉ii. 截長補短iii. 構造等邊三角形iv. 角平分線
同時，這個模型還有一個變式：把已知的∠BDC＝120度變成∠ADC＝60度，上述結論仍然成立。
關于這個模型的一些應用場景和考題如下
備注這幾個例題中，還會涉及正方形或者等腰直角三角形的模型，我們後面會給大家做分享的。
總結這篇文章我們從一個等邊三角形和一個點的位置關系出發，利用旋轉為工具，去探究一個點分别在等邊三角形的一邊上、内部以及外部這三種不同的情況，可以如何去命題。從而總結出一些固定的結論和模型。這種研究方法可以複制和推廣到其他地方，幫助我們研究和總結出更多的幾何模型。
這其中，最後一種情況是最最重要的:一個等邊三角形外部＋一個120度或者60度的角，可以導出一個線段和差以及一條角平分線這兩個結論。
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