高中物理流體模型解析！

一、模型建構

1、流體問題：

'流體'一般是指液體流、氣體流等，質量具有連續性。涉及有求解質量、體積和力等問題。

2、兩類問題

第一類：連續流體類問題

對于該類問題流體運動,可沿流速v的方向選取一段柱形流體作微元

設在極短的時間Δt内通過某一橫截面積為S的柱形流體的長度為Δl,如圖所示。設流體的密度為ρ

則在Δt的時間内流過該截面的流體的質量Δm=ρSΔl=ρSvΔt

根據動量定理得：FΔt=ΔmΔv

分兩種情況:

(1)作用後流體微元停止，有Δv=-v，則F=-ρSv²

(2)作用後流體微元以速率v反彈，有Δv=-2v，則F=-2ρSv²

第二類：連續微粒類問題

'微粒'一般是指電子流、塵埃等，質量具有獨立性，通常給出單位體積内的粒子數n：

（1）建立'柱狀'模型，沿運動速度v₀的方向選取一段微元，柱體的橫截面積為S；

（2）微元研究，作用時間△t内的一段柱體的長度為v₀△t，對應的體積為△V=S v₀△t，則微元内的粒子數N=nS v₀△t

（3）先應用動量定理研究單個粒子，建立方程，再乘以N計算。

二、例題精析

例1、有一橫截面積為S的銅導線，流經其中的電流為I，設每單位體積的導線有n個自由電子，電子的電荷量為q，此時電子的定向移動速率為v，在t時間内，通過導線橫截面的自由電子數目可表示為（　　）

A．Nst

B．Nvt

C．

D．

解答：在t時間内通過導體橫截面的自由電子的電量Q＝It，

則在t時間内，通過導體橫截面的自由電子的數目為：N＝

根據電流的微觀表達式I＝nqvS，将I＝nevS代入得：

N＝

故選：C。

例2、運動員在水上做飛行運動表演他操控噴射式懸浮飛行器将水帶豎直送上來的水反轉180°後向下噴出，令自己懸停在空中，如圖所示。已知運動員與裝備的總質量為90kg，兩個噴嘴的直徑均為10cm，已知重力加速度大小g＝10m/s²，水的密度ρ＝1.0×10³kg/m³，則噴嘴處噴水的速度大約為（　　）

A．2.7m/s

B．5.4m/s

C．7.6m/s

D．10.8m/s

解答：設飛行器對水的平均作用力為F，根據牛頓第三定律可知，水對飛行器的作用力的大小也等于F，對飛行器，則：F＝Mg

設水噴出時的速度為v，選取一段柱形流體

在時間t内噴出的水的質量：△m＝ρ·V＝ρ·2Svt

t時間内質量為△m的水獲得的沖量：I＝Ft＝△mv

聯立可得：v＝

故選：C。

三、針對訓練

1．如圖所示，一根橫截面積為S的均勻帶電長直橡膠棒沿軸線方向做速度為v的勻速直線運動。棒單位長度所帶電荷量為﹣q，則由于棒的運動而形成的等效電流大小和方向（　　）

A．vq，方向與v的方向相反         

B．vqS，方向與v的方向相反      

C．

D．

【解答】解：棒沿軸線方向以速度v做勻速直線運動時，每秒通過的距離為v米，每秒v米長的橡膠棒上電荷都通過直棒的橫截面，每秒内通過橫截面的電量大小為：Q＝q·v

根據電流的定義式為：I＝

得到等效電流為：I＝qv．

由于棒帶負電，則電流的方向與棒運動的方向相反，即與v的方向相反。

故A正确，BCD錯誤。

故選：A。

2．打開水龍頭，水順流而下，仔細觀察将會發現在流下的過程中，連續的水流柱的直徑是逐漸減小的．設出水口方向豎直向下的水龍頭直徑為1cm，g取10m/s²．如果測得水在出水口處的速度大小為1m/s，則距出水口75cm處水流柱的直徑為（　　）

A．1cm

B．0.5cm                         

C．0.75cm                      

D．0.25cm

【解答】解：設水在水龍頭出口處速度大小為v₁，水流到距出水口75cm處的速度v₂，

由

代入數據解得v₂＝4m/s，

設極短時間為△t，在水龍頭出口處流出的水的體積為V₁＝v₁△t

水流進接水盆的體積為V₂＝v₂△t·

由V₁＝V₂得v₁△t·

代入解得   d₂＝1cm

故選：A。

3．圖是某城市廣場噴泉噴出水柱的場景。從遠處看，噴泉噴出的水柱超過了40層樓的高度；靠近看，噴管的直徑約為10cm。請你據此估計用于給噴管噴水的電動機輸出功率至少有多大？

【解答】解：管口的圓形内徑約有10cm，則半徑r＝5cm＝0.05m

根據實際情況，每層樓高h＝3m，所以噴水的高度H＝40h＝120m，

則水離開管口的速度為：v＝

設給噴管噴水的電動機輸出功率為P，在接近管口很短一段時間△t内水柱的質量為：

m＝ρ·v△tS＝ρπr²v△t

根據動能定理可得：P△t＝

解得：P＝

代入數據解得：P＝4.62×10⁵W，

答：給噴管噴水的電動機輸出功率至少4.62×10⁵W。

4．某地有一風力發電機如圖所示，它的葉片轉動時可形成半徑為20m的圓面。某時間内該地區的風速是6.0m/s，風向恰好跟葉片轉動的圓面垂直，已知空氣的密度為1.2kg/m³，假如這個風力發電機能将空氣動能的10%轉化為電能。（保留兩位有效數字）

（1）求1秒内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的體積；

（2）求1秒内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的動能；

（3）求此風力發電機發電的功率。

【解答】解：（1）1秒沖擊風車車葉的氣體體積為：

V＝SL＝πr²vt＝3.14×400×6×1 m³＝7.5×10³m³；

（2）1s内氣流的質量：m＝ρV＝1.2×7.5×10³kg＝9×10³kg；

氣流的動能：E_動＝

（3）1秒風的動能轉化為的電能：

E_電＝ηE_動＝10%×1.6×10⁵J≈1.6×10⁴J；

則功率P＝

答：（1）1秒内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的體積為7.5×10³m³；

（2）1秒内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的動能為1.6×10⁵J；

（3）此風力發電機發電的功率1.6×10⁴W。

5．新型冠狀病毒主要傳播方式為飛沫傳播。有關專家研究得出打噴嚏時氣流噴出的速度可達50m/s，假設一次打噴嚏人受到的平均反沖力約為0.16N，時間大約0.03s，估算打一次噴嚏噴出空氣的質量約為（　　）

A．9.6×10^﹣3kg

B．9.6×10^﹣5kg

C．1.92×10^﹣3kg

D．1.92×10^﹣5kg

【解答】解：設打一次噴嚏噴出空氣的質量為m，由動量定理可得：F×Δt＝mv

代入數據解得：m＝9.6×10^﹣5kg。故B正确，ACD錯誤。

故選：B。

6．如圖所示為某地一風力發電機，它的葉片轉動時可形成半徑為20m的圓面。某時間内該地區的風速是5.0m/s，風向恰好跟葉片轉動的圓面垂直，已知空氣的密度為1.2kg/m³，假如這個風力發電機能将此圓内10%的空氣動能轉化為電能，π取3。下列說法正确的是（　　）

A．單位時間内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的體積為6000m³  

B．單位時間内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的動能為900J        

C．單位時間内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的動量為900kg·m/s      

D．此風力發電機發電的功率為900W

【解答】解：A、單位時間内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的體積為

B、單位時間内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的動能為

C、單位時間内沖擊風力發電機葉片圓面的氣流的動量為

p＝mv＝ρV₀v＝1.2×6000×5kg·m/s＝3.6×10⁴kg·m/s，故C錯誤；

D、依題意，此風力發電機發電的功率為

故選：A。

7．近些年小型無人機發展迅速，在交通管理，航拍攝影、安防救援等方面都有廣泛的應用。如圖所示為某型号的無人機，它通過4個旋翼螺旋槳向外推動空氣獲得升力，假設質量為M無人機在某次無風狀态下飛行時，處于水平懸停狀态下，被推動空氣獲得速度為v，空氣的密度為ρ。忽略推出空氣對機身的作用力，則下面說法正确的是（　　）

A．無人機的動能為

B．無人機的功率Mgv    

C．單位時間内推出空氣的總質量為

D．每個螺旋槳轉動時形成空氣流動的圓面面積

【解答】解：AB、由于飛機靜止，所以空氣對飛機的作用力為：F＝Mg

飛機對空氣作用力為：F′＝F＝Mg

對被推向下的空氣應用動量定理可得：F't＝Mgt＝mv

得：m＝

空氣獲得的動能為：E_k＝

無人機做功使空氣獲得動能，無人機的功率為：P＝

C、由上可知：m＝

D、螺旋槳轉動時形成空氣流動的圓面面積為S，則有：Sρv＝

每個螺旋槳轉動時形成空氣流動的圓面面積：S′＝

聯立解得：S′＝

故選：C。

8．湖面上有帆船正以速度v₁勻速順風航行。已知：該船帆的有效受風面積為S，水平風速恒為v₂，且v₁＜v₂，湖面上空氣密度為ρ。則風對船帆的推力的功率為（　　）

A．ρSv₂²

B．ρS（v₂﹣v₁）²

C．ρS（v₂﹣v₁）²v₁

D．ρS（v₂﹣v₁）²v₂

【解答】解：單位時間t内沖擊船帆的空氣的體積

V＝SL＝S（v₂﹣v₁）t

單位時間t内沖擊船帆的空氣質量

m＝ρV＝ρS（v₂﹣v₁）t

空氣的動量改變量

Δp＝m（v₂﹣v₁）

帆對空氣的作用力F，由動量定理

Ft＝Δp

解得：F＝ρS

根據牛頓第三定律，帆船在航行過程中受到的風的水平推力大小

F'＝F＝ρS

風對船帆的推力的功率為

P＝F'v₁＝ρS

故選：C。

9．如圖，橫截面積為5cm²的水柱以10m/s的速度垂直沖到牆壁上，已知水的密度為1×10³kg/m³，假設水沖到牆上後不反彈而順牆壁流下，則牆壁所受水柱沖擊力為（　　）

A．5×10⁵N

B．50N

C．5×10³N

D．5×10²N

【解答】解：ts時間内噴水質量為：m＝ρSvt＝1000×0.0005×10t kg＝5t kg，

水在時間ts内受到牆的沖量為：I＝0﹣mv＝Ft

所以：

負号表示水受到的牆的作用力的方向與運動的方向相反。

故選：B。

10．2021年9月24日，中國用長征5号運載火箭成功将太空飛船貨物艙送入預定軌道。運載火箭點火時向下噴氣，會對地面産生沖力。假設火箭噴氣口的橫截面積為s，噴出氣體的速度為v（相對于地面），氣體垂直射向地面後，豎直速度變為零，已知氣體的密度為ρ，重力加速度大小為g，忽略氣體自身重力，則氣體對地面的平均沖力是（　　）

A．sv²ρ

B．

C．svgρ

D．

【解答】解：設Δt時間内火箭噴出氣體的質量為Δm，則Δm＝ρsv·Δt

以Δt此時間内噴出的氣體Δm為研究對象，設地面對氣體的作用力為F，取噴出氣體速度的方向為正方向，由動量定理得：

﹣F·Δt＝0﹣Δmv

聯立解得：F＝ρsv²

由牛頓第三定律知，氣體對地面的沖擊力為：F′＝F＝ρsv²，故A正确，BCD錯誤。

故選：A。

11．用豆粒模拟氣體分子，可以模拟氣體壓強産生的原理。如圖所示，從距秤盤80cm高度把1000粒的豆粒連續均勻地倒在秤盤上，持續作用時間為1s，豆粒彈起時豎直方向的速度變為碰前的一半。若每個豆粒隻與秤盤碰撞一次，且碰撞時間極短（在豆粒與秤盤碰撞極短時間内，碰撞力遠大于豆粒受到的重力），已知1000粒的豆粒的總質量為100g。則在碰撞過程中秤盤受到的壓力大小約為（　　）

A．0.2N

B．0.6N

C．1.0N

D．1.6N

【解答】解：豆粒下落到秤盤上的速度v＝

Ft＝mv'﹣mv

解得：F＝0.6N；由牛頓第三定律可知，在碰撞過程中秤盤受到的壓力大小為0.6N；

故B正确，ACD錯誤。

故選：B。

12．高壓水槍是世界上公認的最科學、經濟、環保的清潔工具之一。如圖所示為某高壓水槍工作時的場景。考慮能量損耗，可近似認為高壓水槍工作時電動機所做功的80%轉化為噴出水的動能，已知水槍出水口直徑為d，水從槍口噴出時的速度為v，水的密度為ρ，求：

（1）單位時間從槍口噴出的水的質量；

（2）這個水槍工作時電動機做功的功率；

（3）用高壓水槍沖洗物體時，在物體表面将産生一定的壓力。若水從槍口噴出時的速度大小v＝100m/s，近距離垂直噴射到物體表面，水槍出水口直徑d＝5mm。忽略水從槍口噴出後的發散效應，水噴射到物體表面時速度在短時間内變為零。由于水柱前端的水與物體表面相互作用時間很短，因此在分析水對物體表面的作用力時可忽略這部分水所受的重力。已知水的密度ρ＝1.0×10³kg/m³，g＝10m/s²，估算水槍在物體表面産生的沖擊力的大小。

【解答】解：（1）Δt時間内，水槍噴出的水的質量為：Δm＝ρSvΔt＝ρ·

則單位時間從槍口噴出的水的質量為：

（2）水槍在時間Δt内做功轉化為水柱的動能為：W＝

這個水槍工作時電動機做功的功率為：P_電＝

（3）取很短的時間Δt'，則Δt'時間内打到物體表面的水的質量為m'，則有：m'＝ρ

以這部分水為研究對象，設物體表面對其作用力為F'，以水流速度方向為正方向，由動量定理可得：

﹣F'Δt'＝0﹣m'v

代入數據解得：F′＝196.25N

根據牛頓第三定律可得水槍在物體表面産生的沖擊力大小：F＝F'＝196.25N

答：（1）單位時間從槍口噴出的水的質量為

（2）這個水槍工作時電動機做功的功率為

（3）水槍在物體表面産生的沖擊力的大小為196.25N。

13．某遊樂園入口旁有一噴泉，水槍噴出的水柱将一玩具鐵盒穩定地懸停在相對于噴口高度為h的空中，如圖所示。為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以恒定的速度v₀豎直向上噴出；鐵盒底部為平闆（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底闆後，在豎直方向水的速度變為零，在水平方向朝四周均勻散開。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度為g。求

（1）水槍單位時間噴出的水的質量

（2）玩具鐵盒的質量M。

【解答】解：（1）設△t内噴水的質量為△m，則：△m＝ρSv₀△t

單位時間噴出的水的質量：

（2）設△t内，鐵盒對△m的水的平均作用力為F，沖擊鐵盒時水的速度為v，取向下為正

動量定理有：（F+△mg）△t＝△mv

又△mg＜＜F

所以F＝ρSv₀v

由運動學公式有：

由平衡條件及牛頓第三定律有：F'＝Mg，F'＝F

聯立解得：

答：（1）水槍單位時間噴出的水的質量為ρSv₀；

（2）玩具鐵盒的質量為

14．高壓采煤水槍出水口的橫截面積為S，水的射速為v，水柱水平垂直地射到煤層後，速率變為0，若水的密度為ρ，假定水柱截面不變，則水對煤層的沖擊力是多大？

【解答】解：設t時間内有V體積的水打在煤層上，則這些水的質量為：m＝ρV＝ρSvt，

以這部分水為研究對象，它受到煤層的作用力為F，以水運動的方向為正方向，由動量定理有：Ft＝0﹣mv，

即：F＝﹣

由牛頓第三定律可以知道，水對煤層的沖擊力大小也為ρSv²．

答：水對煤層的沖擊力是ρSv²．

15．某遊樂園入口旁有一鲸魚噴泉，在水泵作用下會從鲸魚模型背部噴出豎直向上的水柱，将站在沖浪闆上的玩偶模型托起，懸停在空中，伴随着音樂旋律，玩偶模型能夠上下運動，非常引人駐足，如圖所示。這一景觀可做如下簡化，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v₀豎直向上噴出；設同一高度水柱橫截面上各處水的速率都相同，沖浪闆底部為平闆且其面積大于水柱的橫截面積，保證所有水都能噴到沖浪闆的底部。水柱沖擊沖浪闆前其水平方向的速度可忽略不計，沖擊沖浪闆後，水在豎直方向的速度立即變為零，在水平方向朝四周均勻散開。已知玩偶模型和沖浪闆的總質量為M，水的密度為ρ，重力加速度大小為g，空氣阻力及水的粘滞阻力均可忽略不計。

（1）試計算玩偶模型在空中懸停時，水對沖浪闆的沖擊力大小和噴泉單位時間内噴出的水的質量；

（2）實際上當我們仔細觀察發現噴出的水柱在空中上升階段并不是粗細均勻的，而是在豎直方向上一端粗一端細，請你分析上升階段的水柱是上端較粗還是下端較粗，并說明水柱呈現該形态的原因。

（3）由于水柱頂部的水與沖浪闆相互作用的時間很短，因此在分析水對沖浪闆的作用力時可忽略這部分水所受的重力作用。求玩偶在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

【解答】解：（1）玩偶處在空中靜止，此時受重力與水向上的推力，由二力平衡可知F＝Mg

設△t時間内，從噴口噴出的水的體積為△V，質量為△m，

則△m＝ρ△V，△V＝v₀S△t由以上兩式得，單位時間内從噴口噴出的水的質量為

（2）水柱上端較粗，下端較細。

原因是：任意橫截面流速相等，下端水柱速度較上端水柱的速度大，由Q＝Sv，（S為水柱截面積，v為水柱中水的流速）可知，上端水柱截面較大。

（3）設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h，水從噴口噴出後到達玩具底面時的速度大小為v。

對于△t時間内噴出的水，由能量守恒定律得

在h高度處，△t時間内噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為△p＝（△m）v設水對玩具的作用力的大小為F，根據動量定理有F⋅△t＝△p由于玩具在空中懸停，

由力的平衡條件得F＝Mg

聯立以上各式得

答：（1）水對沖浪闆的沖擊力大小和噴泉單位時間内噴出的水的質量為ρv₀S；

 （2）水柱上端較粗，下端較細。任意橫截面流速相等，下端水柱速度較上端水柱的速度大，由Q＝Sv，（S為水柱截面積，v為水柱中水的流速）可知，上端水柱截面較大。

（3）玩偶在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度

16．如圖所示，靜止在光滑水平面上的小車質量為M＝20kg．從水槍中噴出的水柱的橫截面積為S＝10cm²，速度為v＝10m/s，水的密度為ρ＝1.0×10³kg/m³．若用水槍噴出的水從車後沿水平方向沖擊小車的前壁，且沖擊到小車前壁的水全部沿前壁流進小車中．當有質量為m＝5kg的水進入小車時，試求：

（1）小車的速度大小；

（2）小車的加速度大小．

【解答】解：（1）流進小車的水與小車組成的系統動量守恒，當淌入質量為m的水後，小車速度為v₁，

則mv＝（m+M）v₁，

解得：

（2）質量為m水流進小車後，在極短的時間△t内，沖擊小車的水的質量為△m＝ρS（v﹣v₁）△t

此時，水對車的沖擊力為F，則車對水的作用力也為F，

據動量定理有

﹣F△t＝△mv₁﹣△mv

解得：

根據牛頓第二定律得：

答：（1）小車的速度大小為2m/s；

（2）小車的加速度大小為2.56m/s²．