Common risk factors in the returns on stocks and bonds

Common risk factors in the returns on stocks and bonds

摘要

本文确定了股票和債券收益的五個常見風險因素。股票市場有三個因素:一個總體的市場因素和與公司規模以及賬面市值比有關的因素。債券市場有兩個因素，與到期和違約風險有關。由于股票市場的因素，股票回報有共同的變化，它們通過債券市場因素的共同變化與債券收益聯系在一起，除了低級的企業，債券市場因素反映了債券收益率的共同變化。最重要的，這五個因素似乎解釋了股票和債券的平均回報率。

1.介紹

美國普通股平均收益的橫截面與夏普比例（1964）TLNTNER（1965）資産定價模型或BREEDEN（1979）等跨期資産消費定價模型的消費關系不大。例如，ReigANUM（198 1）和布裡登、吉本斯和LyZeNBER（1989）。換句話說，在資産定價理論中沒有特殊地位的變量顯示了可靠的解釋平均回報截面的能力。經驗确定的平均值變量的列表包括大小（ME，市值），杠杆率，收益/價格（E/P），和賬面市值比（公司普通股的賬面價值，BE，其市值，ME）。例如班茲（1981）。班達裡（1988）。巴蘇（1983）。還有羅森伯格、瑞德和Lanstein

FAMA和French（1992年）研究了股票平均收益的橫截面中市場、規模、E/P、杠杆和賬面市值比共同作用。他們發現，單獨使用或與其他變量組合共同使用，（股票收益在市場回報的回歸中的斜率）幾乎并不顯著。單獨使用，大小，E/P，杠杆，和書對市場的股本有解釋力。在組合中，規模（ME）和賬面市值比（BE/ME）似乎吸收杠杆和E的作用；最終結果是，兩個經驗确定的變量，規模以及賬面市值比，很好地解釋了在1963年至1990年期間紐約證券交易所、美國證券交易所和納斯達克股票的平均回報的橫截面。本文以三種方式擴展了Fama和French（1992年A）的資産定價測試。

（a）我們擴展了解釋資産的範圍。在FAMA和French（1992年A）中考慮的唯一資産是普通股。如果市場一體化，單一模型也應該解釋債券收益。這裡的測試包括美國政府和公司債券以及股票。

（b）我們還擴展了用于解釋回歸的變量集。FAMA和French（1992年A）的規模和賬面市值比直接作用于股票。我們将列表擴展到可能在債券收益中起作用的期限結構變量。我們的目标是檢查債券回報中重要的變量是否有助于解釋股票收益，反之亦然。這種觀點認為，如果市場一體化，債券和股票的回報過程可能會有一些重疊。

（c）或許最重要的是，測試資産定價模型的方法是不同的。FAMA和FA（1992年A）使用FAMA和MACBETH（1973）的截面回歸：使用回歸股票收益的橫截面來解釋平均的回歸。由于規模和賬面市值等解釋變量對政府和公司債券沒有明顯的意義，因此很難在橫截面回歸中增加債券。

本文采用時間序列回歸的方法，black、延森和斯科爾斯（1972）。股票和債券的月度收益在股票市場組合的回報率上回歸，并模拟投資組合的大小、賬面市值比（B/ME）和回報的期限結構風險因素。時間序列回歸斜率是與大小或BE/ME不同的因素負荷，對債券和股票有明确的風險敏感性。時間序列回歸也便于研究兩個重要資産定價問題。

（a）我們的一個中心主題是，如果資産價格合理，與平均收益相關的變量，如規模和賬面淨值權益，必須代表對回報中常見（共享的和不可預測的）風險因素的敏感性。時間序列回歸在這個問題上提供了直接的證據。特别是，斜率和R平方值表明，模拟相同大小或賬面市值比在股票和債券收益的共享變化沒有被其他因素解釋。

（b）時間序列回歸使用超額收益（月度股票或債券收益減去一個月國庫券利率）作為因變量和超額收益或零投資組合的回報作為解釋變量。在這樣的回歸中，一個很好的資産定價模型産生了截然不同于0的截距（默頓（1973））。所估計的截距顯示共同因素的不同組合很好的捕獲橫截面的平均回報數據。此外，基于超額收益回歸的截斷來判斷資産定價模型提出了嚴格的标準。競争模型被要求解釋一個月的票據利率以及長期債券和股票的回報率。

我們的主要結果很容易總結。對于股票而言，無論是在時間序列回歸中投資組合模拟相同的大小和BE/ME，而捕捉到了很強的共同收益變化。這是一個證據，大小和賬面市值比确實代表了對股票收益的共同風險因素的敏感性。此外，對于股票投資組合，我們研究了三個因子回歸包括超額市場收益和大小和BE/ME因子的截距接近0。因此，一個市場因素和我們對風險因素與規模和帳面市值的代理關系似乎很好地解釋了平均股票收益的橫截面。

股票的時間序列回歸的解釋是有趣的。像FAMA和FRENCH（1992年）的橫截面回歸，時間序列回歸表明，大小和賬面市值比可以解釋股票平均收益的差異。但這些因素不能單獨解釋股票平均收益與一個月票據之間的巨大差異。這項工作需要歸于市場因素。在回歸，包括大小和賬面市值比因素，所有我們的股票投資組合對市場因素産生斜率接近1。市場因素的風險溢價将股票和票據的平均收益聯系起來。

對于債券，兩個期限結構因素（期限溢價和違約溢價）的模拟投資組合捕獲了我們政府和公司債券投資組合收益的大部分變化。期限結構因素也“解釋”了債券的平均回報率，但期限結構因素(如平均超額債券回報率)的平均溢價接近于0。因此，所有公司和政府債券投資組合具有相同的長期預期回報的假設也不能被拒絕。

股票回報的共同變化很大程度上被三個證券投資組合的回報所捕獲，而債券回報的共同變化在很大程度上被兩個債券投資組合的回報所解釋。然而，股票和債券市場遠不是随機分割。單獨使用的時間序列回歸。期限結構因素捕捉股票收益的劇烈變化；事實上，股票回歸的期限結構因素的斜率非常類似于債券。但有趣的是，當股票市場因素也包含在回歸中時，我們所有的股票組合在兩個期限結構因素和市場回報因素上都有相同的方式。因此，股票的市場組合捕獲了與個期限結構市場因素相關聯的股票收益的共同變化。債券和股票市場之間的随機聯系确實存在。然而。似乎主要來自期限結構因素。單獨使用。超額的市場回報和大小和賬面市值比因素似乎捕獲債券收益的共同變化。但是，當債券結構中包含兩個結構因素時，股票市場因素的解釋力消失，除了低級公司債券。

簡而言之，我們的結果表明，至少有三個股票市場因素和兩個期限結構因素的回報。股票收益由于三個股票市場因素而有共同的變化，它們通過兩個期限結構因素的共同變化與債券收益挂鈎。除了低級公司債券，隻有兩個期限結構因素似乎在政府和公司債券的回報中産生共同的變化。

故事進行如下。我們首先介紹時間序列回歸的輸入：解釋變量和待解釋的回報（2和3節）。然後我們使用回歸來攻解釋我們的兩個中心資産定價。

問題：變量的不同組合如何捕獲（a）在債券和股票收益（4節）和（b）共同的變化以及以及橫截面的平均收益

2時間序列輸出

時間序列回歸中的解釋變量包括股票市場組合的收益率，模仿投資組合具有相同的大小，賬面市值比，以及回報的期限結構因素。要解釋的回報是在兩個成熟度範圍的政府債券組合，在五個評級組公司債券投資組合，和保證賬面市值比及大小公平的25個股票投資組合。

2.1解釋變量收益率

解釋變量分為兩套，那些可能是重要的解釋債券市場回報的變量和那些可能是很重要的股票回報的标量。以這種方式對解釋變量進行分段，建立了關于股票收益中重要因素是否有助于解釋債券收益的解釋，反之亦然。

2.2債券市場因素

債券收益的一個常見風險是利率的意外變化。我們使用TERM來表示，是每月長期政府債券回報（從伊博森協會）和在月末結束的月度國庫券利率（從證券價格研究中心，CRSP）之間的差額。國庫券利率是用來代表債券的預期收益的一般水平。因此，長期債券的回報率是由于利率變動而導緻的預期收益偏離。

用于公司債券。經濟狀況的變化會改變違約的可能性，這會導緻回報變化的另一個共同因素。DEF這種違約因素的代表是長期公司債券(Ibbotson Associates公司債券模塊上的複合投資組合)市場投資組合的回報率與長期政府債券回報率之間的差異。

陳。滾動，羅斯（1986）使用TERM和一個像DEF這樣的變量，以幫助解釋在紐約證券交易所股票橫截面的平均回報。他們使用FAMA和MACBETH（1973）橫截面回歸方法：使用橫截面的TERM、違約因子以及其他的變量的斜率解釋橫截面的平均股票回報數據。在他們的測試中。違約因素是股票平均收益的最有力因素,TERM通常有力。我們證實了TERM和DEF的軌迹在股票收益的時間序列變化中清晰地顯示出來。我們還發現，這兩個變量支配着政府和企業債券收益的共同變化。與陳,羅斯的截面回歸相反，然而，我們的時間序列回歸說，DEF和TERM太小以至于無法解釋解釋在平均股票收益過大的變化上。[山肯和韋恩斯坦（1990）提出了類似的觀點]。

2.1.2股票市場因素

動機——規模和賬面市值比似乎是特别的變量來解釋平均股票回報率，我們有理由期待他們能解釋的市場風險因素的回報。在Fama和FERENCH（1992年），我們記錄的大小和賬面市值比與經濟基本面有關。不足為奇的是，高BE/ME（相對于賬面價值的股票價格較低）的公司往往資産收益較低，至少在五年前和五年後的對賬面市值比公平的測量中收益較低。

相反地。低BE/ME（相對于賬面價值的高股價）與持續高收益相關。

規模也與盈利能力有關。控制賬面市值比變量，小公司往往比大公司的資産收益低。但是，收入的規模效應僅僅到了20世紀80年代，直到1981。控制賬面市值比因素，小公司的利潤隻比大公司略低一些。但對于小公司來說，1982年的經濟衰退變成了長期的經濟蕭條。由于某種原因，小公司沒有參與到20世紀80年代中期和後期的經濟繁榮中。

小公司可能會遭受長期的收益低落，而大公司則可以避免這種情況。這表明了，規模與一個市場風險因素有關，這可能解釋了規模和平均回報之間的負相關關系。類似的。賬面市值與收益之間的關系表明，相對盈利能力是回報中一個市場風險因素的來源，這可能解釋了BE/ME和平均回報的正相關關系。

闆塊– 為了學習經濟學基礎Fama and French（1992年B）使用六種由ME以及BE/ME的股票組成的投資組合。我們使用相同的六個投資組合來形成投資組合，以模拟與規模和賬面市值相同時的潛在風險因素。這确保了對收益中常見風險因素的研究與我們對經濟基本原理的互補研究之間的一緻性。

在每年的六月，從1963到1991，所有的紐約證交所股票在CRSP的使用市值（價格乘以股票數量）排名。NYSE規模的中位數用于拆分紐約證券交易所、美國證券交易所以及在1972後納斯達克股票分成兩組，小而大（S和B）。大多數美國證券交易所和納斯達克股票都比紐約證交所的中位數小，因此，小規模組中的公司數量大（在1991年4794家公司中達到了3616家）。盡管有大量的股票，小集團的兩個規模組的相加的價值還遠遠少于總市值一半（大約1991的8%）。

我們還将紐約證券交易所、美國證券交易所和納斯達克股票，根據底部30%（Low）、中間40%（Medium）的斷點，前30%（High）将其分成三個具有接近賬面市值比的組合（根據紐約證券交易所的BE/ME的排名）。我們定義普通股權益的賬面價格。使用股東權益的帳面價值，加上資産負債表遞延稅金和投資稅抵免(如果有的話)，減去優先股的帳面價值來計算。

取決于數據的可用性，我們使用贖回、清算或面值（按該順序）來估計優先股的價值。賬面市值比的相似，BE/ME，然後，将在會計年度t - 1的會計年度中，按市場權益除以t –1年度12月底的所有者權益。在計算BE/ME或當形成大小以及根據BE/ME形成投資組合時，我們不使用在1980年之前很罕見負BE公司。隻有普通股權的公司（由CRSP分類）包含在測試中。這意味着不包括ADR、REITs和利益相關單位。

根據我在FAMA和FRENCH（1992年A）的證據表明，賬面市值比在平均股票收益比規模上具有更大的作用。我們決定将根據BE/ME将公司分為三類，根據ME将公司分為兩類。但是，這種分裂是任意的，我們還沒有找到替代方案。信心是這裡的檢驗以及在FAMA和French（1992年B）對這些決定并不敏感。我們沒有理由對這種分類進行争辯。

從我們對ME的兩個分組以及對BE/ME的三個分組中，我們構造了六個投資組合（S/L，S/M，S/H. B/L，B/M，B/H）。例如。S/L投資組合包含在小ME組中的股票，它們也在低BE/ME組中，B/H組合包含大的ME股票，它們也在高BE/ME組中。六個投資組合的月價值加權回報率從t年7月到t + 1年6月計算。投資組合在t + 1年6月份重新分組。我們從t年7月開始計算收益，以确保t - 1年的賬面權益是已知的。

要包含在測試中，公司必須有t - 1年12月和t年6月的CRSP股票價格和t - 1年的COMPUSTAT（會計數據庫中）賬面普通股權益。此外，為了避免COMPUSTAT将公司添加到數據庫中所固有的生存偏見[Banz和Breen(1986)]，在公司出現在COMPUSTAT上兩年之後，我們才将它們包括在内。(COMPUSTAT稱，在加入公司時，它很少包含超過兩年的曆史數據)。

規模——我們的投資組合，SMB (small - big)，表示為模仿與規模相關的回報的風險因素，是根據每個月3小市值投資組合（S/L，S/M，S/H）以及3個大市值投資組合（ B/L，B/M，B/H）在平均回報率之間的差額。因此，SMB是小型和大型股票投資組合的回報之間的差額，将賬面市值比作為控制變量。這種差異應該在很大程度上不受BE/ME的影響，而是集中在大型與小型公司的不同平均回報。

BE/ME -投資組HML（高減低）。類似于模仿與賬面市值比相關回報的風險因素。HML是每個月在兩個高BE/ME投資組合（S/H和B/H）收益的簡單平均值和兩個低BE/ME投資組合（S/L和B/L）收益的平均值之間的差異。HML的兩個組成部分是高投資組合和低投資組合的回報率，它們的加權平均規模大緻相同。因此，兩個回報之間的差異應該在很大程度上沒有市值因素，而是集中在高和低BE/ME公司不同的回報行為。1963-1991年每月對于市值以及賬面市值比兩個因素的模拟回報相關系數隻有0.08，可以作為作為這一簡單程序成功的證明。

真實模拟投資組合中市場風險因素，最大限度地減少了公司特定因素的方差。在SMB和HML中，6個size -ME組合是價值加權的。價值加權是為了最小化方差，因為返回值方差與大小負相關(表2)。下文)。更重要的是，使用價值加權的成分可以模拟投資組合，捕捉小股和大股不同的回報行為。或高和低的股票，以一種符合現實投資機會的方式。

市場回報率----我們對股票回報的市場因素的反映是超額市場回報，即rmr–rf.RM是6個SIZE-BE/ME股票組合的價值加權組合的回報，加上被排除在投資組合之外-BE的股票。RF是一個月的票據利率。

2.2被解釋的回報

債券-在時間序列回歸中使用的依賴變量集包括兩個政府和五個公司債券組合的超額收益。政府債券投資組合（formCRSP）涵蓋1至5年和6至10年的到期日。5個公司債券的投資組合，由穆迪的評級機構從Aaa, Aa，A,Baa，LG(低級别，也就是Baa之下)來自Ibbotson Associates的公司債券模塊(由Dimensional Fund Advisors提供給我們)。

股票-股票，我們使用在25個投資組合的超額回報率，通過控制市值以及賬面市值比平衡，作為時間序列回歸的因變量。我們使用按規模和賬面市值比組成的投資組合，因為我們尋求确定模拟投資組合SMB和HML是否捕捉了與規模和賬面市值比有關的股票回報中的市場因素。根據規模和BE/ME形成的投資組合還将産生各種各樣的平均回報，這些回報可以用相互競争的資産定價方程來解釋。然而，我們使用E/P（收益/價格）和D/P（股利/價格）形成的投資組合。變量對于平均回報也有解釋力（類似KEIM（1988）），檢驗我們的結果對解釋因子捕捉平均回報橫斷面的能力的穩健性。

25個SIZE-BE/ME投資組合很像前面讨論的6個SIZE-BE/ME的投資組合。在每t年的六月，我們将NYSE股票按市值分以及（獨立地）賬面市值比分類。對于大小，ME是在t年的六月底測量的。對于賬面市值比，ME是t - 1的12月底的市場權益. BE是以日曆年度T- 1的會計年度的賬面普通股權益。我們使用NYSE分位點為ME和BE/ME分配紐約證券交易所，美國運股票交易所，和（1972後）納斯達克股票，5個市值的分位點以及5個賬面市值比的分位點。我們構建根據市值以及賬面市值比的分類建立了25個投資組合，并計算加權投資組合從t年七月到t+1年六月的月度收益率。這25個投資組合在1963年7月至1991年12月的超額收益是股票在時間序列回歸中的因變量。

25個size-BE/ME的投資組合在下文呈現。從1963年到1991年的每一年，紐交所對市值的五次斷點(ME，在6月底衡量的股票價格乘以流通股數)，被用來将紐交所，美國運通，納斯達克的股票分為5類。同樣，來自NYSE五個BE/ME的分位點用于分配紐約證券交易所，美國運股票交易所，和納斯達克股票分為5類。“25個size-BE/ME”形成為五個維度的市值和五個賬面市值比的交集。市值，BE,是由COMPUSTAT股東權益賬面價值，加上資産負債表遞延稅金和投資稅收抵免，減去優先股的賬面價值。根據可用原則。我們使用了贖回，清算，或票面價值(按此順序)來估計優先股的賬面價值。賬面市值比。BE/ME。賬面價格為t-1會計年的賬面價格，市值根據t-1的十二月最後一天價格統計。

一個投資組合賬面市值比，是由一個加總的賬面價值,BE,在t-1會計年度報表中統計得到的賬面市值，除以它們的市場權益的總和，ME，在t-1十二月的市場價值。一個投資組合的市盈率(e/p)為在日曆年度T - 1結束的财年組合中的公司的收入，除以十二月的市場權益之和。股權收入是目前的收入，再加上延期繳納的稅款。減優先股利。T年一個投資組合的股息收益率（D/p）是從t-1年七月到t六月的股息支付的股利的總和，除以投資組合中的公司t-1六月市場權益的總和。我們使用FAMA和FRENCH（1988）中描述的程序來估計股利。

描述性統計是在每年六月形成投資組合時計算的。1963年至1991年。

表1顯示，因為我們使用紐約證券交易所的斷點來形成25size-BE/ME投資組合，在最小規模的五分之一的投資組合擁有最多的股票（主要是小型的AMEX和納斯達克股票）。盡管它們包含許多股票，但在最小投資組合中，五個投資組合中的每一個平均都少于25個投資組合中股票組合價值的0.70%。相比之下，規模最大的五分之一的投資組合擁有最少的股票，但為價值最大的部分。五大投資組合中市值約為總價值的74%。在最大規模和最低Be/Me五分位數（大成功公司）的股票組合中，占據了25個組合的組合價值的30%以上。請注意假如使用所有股票，而不僅僅是紐約證券交易所的股票來定義規模的五分位數，将導緻更大的價值分布偏向與最大規模的五分位數。

表1還表明，在每一個規模的五分之一除了最小規模，無論是股票的數量和總價值的比例都自低賬面市值比的投資組合到高賬面市值比的投資組合遞減。這種模式有兩個原因，首先，從紐約證券交易所股票獨立的使用規模和賬面市值比形成投資組合，意味着最高的BE/ME五分位數傾向于最小的股票。其次，AMEX和納斯達克股票，大多是小型股，往往比紐約證交所股票規模更低。換言之，紐交所的市值很小，比小型的AMEX和納斯達克股票看更像是下跌的天使（股票價格低的大公司）。

3輸出結果

表2總結了時間序列回歸中的相關和解釋性回報。作為因變量的投資組合的平均超額收益給出了風險因素集合必須解釋的平均收益的範圍。解釋投資組合的平均回報是風險(回歸斜率)每單位風險的平均溢價。

3.1相關收益

股票——由市值和賬面市值形成的25個股票組合産生了廣泛的平均超額回報，從每月0.32%到1.05%。這些投資組合還證實了Fama-French (1992a)的證據，即市值與平均回報之間存在負相關關系，而平均回報與賬面市值比股票之間存在更強的正相關關系。除了最低五分之一的BE/ME之外，平均回報率往往從小投資組合到大投資組合下降。平均收益率與賬面市值之間的關系更為一緻。在每一種市值的五分位數中，平均回報率往往随着BE/ME的增加而增加，而最高和最低的BE/ME投資組合的平均回報率之間的差異每月從0.19%到0.62%不等。

我們的時間序列回歸試圖用收益中常見風險因素的溢價來解釋平均回報的橫截面。25個股票投資組合的平均回報率，以及平均回報的市值和賬面市值的影響，為比較風險因素帶來了有趣的挑戰。

10個中大多數投資組合的BE/ME最下面的五分之二中産生的平均超額回報率對于0都小于兩個标準誤差。這是一個衆所周知的問題的例子[Merton(1980)]:由于股票回報率有很高的标準差(對于大小為BE/ME的投資組合，每個月大約有6%)，大的平均回報率通常與0并不存在可靠的差異。然而，股票回報率的高波動性并不意味着我們的資産定價測試将缺乏動力。收益的共同因素将吸收股票收益的大部分變化，使對時間序列回歸的攔截進行的資産定價測試非常精确。

債券——與股票投資組合相比，表2中政府和公司債券投資組合的平均超額回報微不足道。所有超額債券的平均收益率都低于0.15%，而7個中隻有一個的标準誤差大于1.5。表2幾乎沒有證據表明(a)政府債券的平均回報率随到期時間增加，(b)長期公司債券的平均回報率高于政府債券，或(c)低評級集團的公司債券的平均回報率更高。

平均債券收益率的橫截面并不意味着債券在資産定價測試中是無趣的因變量。相反。債券是拒絕資産定價公式的好候選人，這些公式可以根據不同的斜率對收益的共同風險因素進行預測。

3.2解釋性收益

在資産定價測試的時間序列回歸方法中，收益中常見因素的平均風險溢價僅僅是解釋變量的平均值。rm - rf的平均值(每單位市場價格的平均溢價)是每月0.43%。從投資角度來看，這是一個很大的數字(大約每年5%)，但這是一個對0的邊際1.76的标準誤差。SMB的平均回報(與市值相關的投資回報的平均溢價)僅為每月0.27% (t = 1.73)。然而，我們将發現，這25個股票投資組合的SMB的斜率覆蓋了超過1.7的範圍，因此，由于市值因素，預期收益的估計利差很大，約為每月0.46%。賬面值對市值因素HML。平均每月産生0.40%的溢價(t = 2.91)，這在實際和統計上的TERMS中都是很大的。

期限結構因素的平均風險溢價相對于股市因素而言微不足道。TERM (時間溢價)和DEF(違約溢價)平均每月0.06%和0.02%;兩者的标準誤差都在0.4以内。不過請注意，TERM和DEF的波動性與股市回報率SMB和HML差不多。較低的平均溢價将阻止TERM和DEF解釋平均回報的許多橫截面變化，但高波動性意味着這兩個因素可以在回報中獲得實質性的共同變化。事實上，TERM和DEF的低均值和高波動性将有利于解釋債券收益。但解釋股票平均回報率的強橫截面變化的任務落在了股市因素上。RM-RF、SMB和HML,它們産生了更高的平均溢價。

現在我們來看看資産定價測試。在時間序列回歸方法中，測試有兩個部分。在第4部分中，我們建立了兩個債券市場回報，TERM和DEF，以及三個股票市場回報，rm-rf和SMB和HML，它們是風險因素，捕捉了股票和債券回報的共同(共享因而不可分散)變化。在第5節中，我們使用時間序列回歸的截距來測試收益中常見風險因素的平均溢價是否可以解釋債券和股票的平均回報的橫截面。

4回報的共同變化

在時間序列回歸中，斜率和R方值直接證明了不同的風險因素是否反映了債券和股票回報率的共同變化。我們首先分别考察債券市場和股票市場因素的解釋力。目的是測試股票和債券收益的随機過程之間的重疊。在債券收益中重要的債券市場因素是否反映了股票收益的共同變化？反之亦然？然後，我們研究了債券和股市因素的共同解釋力，為共同的回報變化總結出一個整體的邏輯。

4.1債券市場的因素

表3顯示，TERM和DEF單獨作為時間序列回歸中的解釋變量，捕獲了股票和債券收益的共同變化。25個股票組合在TERM上産生的斜率是大于5個标準誤;七個債券組合中最小的TERM斜率是18個标準誤。債券在DEF上的斜率都是超過7.8個标準誤，股票在DEF上的斜率超過3.5個标準誤。

TERM是LTG-RF。其中LTG是月長期政府債券收益率的百分比，RF是一個月的國庫券利率在月初的觀測值。DEF是CB- LTG ，其中CB是代表公司債券市場組合的回報。

在超額收益回歸回歸中，作為因變量的7個債券組合分别是1-5年和6-10年政府債券(1-5G和6-10G)和評級為Aaa、aa、a、baa、Baa (LG)之下的公司債券，在穆迪(Moody 's)的評級下。25個市值-BE /ME的股票組合如下所示。從1963年到1991年，每年紐交所都會根據市值(ME ，股票價格乘以流通股)設置五分之一的斷點，在六月底測量，用來分配紐交所、美國運通、納斯達克的股票有五種。同樣，紐交所(NYSE)的BE/ME五分點被用來将紐交所(NYSE)、美國運通(Amex)和納斯達克(NASDAQ)的股票配置為五種賬面市值比的股票。在BE/ME中，BE是以日曆年t - 1結尾的财年的賬面普通股權益，ME是t - 1的12月底的數值。25個市值-BE/ME組合作為5個市值和5個BE/ME組的交集。從t年7月到t + 1年6月，投資組合的價值加權月回報率。

R方和剩餘标準誤差。s(e)，根據自由度進行調整。

TERM和DEF上的斜率允許直接比較短期結構變量跟蹤的股票和債券收益的共同變化。有趣的是，TERM和DEF所捕捉到的常見變化，如果有什麼區别的話，那就是股票要比債券強。大多數股票的斜率大于債券的斜率。股票的TERM斜率(都接近1)與債券産生的最大斜率相似。

然而，正如人們可能期望的那樣，TERM和DEF解釋的回報方差的分數對于債券來說更高。在債券回歸中，R方的範圍從低等級公司的0.49到高等級公司的0.97和0.98。相比之下，股票的R方在0.06到0.21之間。因此，TERM和DEF明确地确定了股票和債券回報率的共同變化，但對于同樣股票和低等級債券，有很大的變化要用股票市場的因素來解釋。

在TERM的斜率上有一個有趣的模式。1- 5年期和6- 10年期政府債券的收益率斜率從0.45上升到0.72，然後在5個長期公司債券組合中的4個以接近1的價格結算(垃圾債券組合LG，斜率為0.81是例外)。這與預期的一緻。長期債券比短期債券對TERM計算的利率變化更為敏感。更驚人的是，25個股票投資組合的TERM斜率就像長期債券一樣。這表明，TERM捕捉到的來自折現率的沖擊的風險，對影響長期證券、債券和股票是以同樣的方式。

這裡觀察到的TERM斜率與我們先前的證據之間存在有趣的相似之處，即收益率差可以預測債券和股票的回報。在Fama和French(1959)中，我們發現長期債券收益率減去短期債券收益率的價差(TERM的事前版本)預測了股票和債券的回報，并捕捉了長期債券和股票的預期回報随時間的變化是相同的。我們推測，收益率差反映了以大約相同的方式影響所有長期證券的貼現利率變化的期限溢價的變化。這裡觀察到的長期債券和股票在TERM上的類似斜率似乎與這個猜想相符。

我們之前的研究還發現，長期減短期收益率的利差在正值和負值之間波動，平均接近于0。這與這裡的證據(表2)一緻，即與利率變動相關的共同風險的平均溢價(TERM的平均值)接近于0。

表3中DEF斜率中的模式也很有趣。小股票的回報比大股票的回報更敏感于DEF所捕獲的風險。股票的DEF斜率往往大于公司債券的DEF斜率，公司債券的DEF斜率比政府債券的DEF斜率大。因此，DEF似乎抓住了從政府債券到公司債券、從債券到股票的收益中常見的“違約”風險。從大股票到小股票。同樣，在DEF斜率上的這種模式與Fama和French(1989)在DEF（低等級減高等級的利差）事前版本的股票和債券收益的時間序列回歸中觀察到的相似模式之間有一個有趣的相似之處。

使用Fama-Macbeth(1973)橫截面回歸方法和基于大小排序值形成的股票投資組合，Chan, Chen。Hsieh(1985)和Chen, Roll和Ross(1986)發現，像DEF這樣的變量上的斜率的橫截面對于解釋市值和平均股票回報之間的負關系有很大的幫助。考慮到表3中DEF的市值與DEF上的斜率之間的負相關關系，很容易理解為什麼DEF斜率在大小組合的橫截面回歸中工作得很好。

然而，我們的時間序列回歸表明，DEF無法解釋平均股票回報的市值效應。在時間序列回歸中，DEF斜線的單位平均溢價是DEF平均值，每月0.02%。同樣，TERM的平均回報率也隻有0.06%。因此，我們将看到，在TERM和DEF的股票收益回歸中的截距，在平均回報中留下了強大的市值和賬面市值比因素的影響。我們還将發現，當将股市因素加入回歸時，表3中的市值與DEF斜率之間的負相關關系将消失。

4.2股市的因素

股票市場因素在回報中的作用可分為三個步驟。我們檢驗(a)使用超額市場回報(rm - rf)的回歸來解釋超額債券和股票回報，(b)使用SMB和HML的回歸，市值和賬面市值因素的模拟回報作為解釋變量。(c)使用rmr - rf，SMB和HML的回歸，三因素回歸對股票來說很有效，但一、二因素回歸有助于解釋原因。

表4顯示，毫不奇怪的是，與表3中的期限結構因素相比，股票市場投資組合的超額回報rm-rf反映了股票回報的更一緻的變化。為以後的目的，重要的事實是，市場在股票回報上留下了許多可能被其他因素解釋的變化。唯一接近0.9的R方值是大股票低賬面市值投資組合。對于小股票和高市盈率的投資組合，R方值小于0.8或0.7是規則。對于這些股票投資組合，SMB和HML，市值和賬面市值比因素将最有可能顯示出邊際解釋力。

股票的市場組合也反映了債券回報率的共同變化。盡管市場βs是債券比股票要小得多。它們是從0到12個标準誤。與直覺一緻,β為公司債券高于政府債券而低檔債券比高檔債券高。低級債券(LG)的β是0.30,和RM-RF解釋了LG回報的方差的29%。

RM是25個市值-BE /ME投資組合中所有股票的月度價值加權回報率，加上被排除在25個投資組合之外的負資産投資回報率。RF是在月初觀測一個月的國庫券利率。

在超額收益回歸回歸中，作為因變量的7個債券組合分别是1-5年和6-10年政府債券(1-5G和6-10G)和評級為Aaa、aa、a、baa、Baa (LG)之下的公司債券，在穆迪(Moody 's)的評級下。25個市值-BE /ME的股票組合如下所示。從1963年到1991年，每年紐交所都會根據市值(ME ，股票價格乘以流通股)設置五分之一的斷點，在六月底測量，用來分配紐交所、美國運通、納斯達克的股票有五種。同樣，紐交所(NYSE)的BE/ME五分點被用來将紐交所(NYSE)、美國運通(Amex)和納斯達克(NASDAQ)的股票配置為五種賬面市值比的股票。在BE/ME中，BE是以日曆年t - 1結尾的财年的賬面普通股權益，ME是t - 1的12月底的數值。25個市值-BE/ME組合作為5個市值和5個BE/ME組的交集。從t年7月到t + 1年6月，投資組合的價值加權月回報率。

R方和剩餘标準誤差。s(e)，根據自由度進行調整。

SMB和HML -表 5表明，在缺乏市場組合競争的情況下，SMB和HML通常在股票回報中捕獲大量的時間序列變化;25個R方值中有20個高于0.2,8個高于0.5。特别是對于市值較大的五分之一的投資組合，SMB和HML在股票回報率中留下了共同的變化，表4中的市場投資組合體現了這種變化。

表5指出，單獨使用時，SMB和HML幾乎沒有能力解釋債券收益。表6顯示，當超額市場回報也在回歸時，三個股市因素中的每一個都能捕捉到債券收益的變化。然而，我們發現，在債券回歸中加入期限結構因素，在很大程度上抹殺了股市因素的解釋力。因此，表6中股票市場因素在債券收益率中的明顯作用可能是由于期限結構因素和股票市場因素之間的協同變化。

表6中有趣的回歸是關于股票的。不出意外的，這三種股票市場因素都反映了股票收益的強共同變化。市場對股票的βs超過38個标準誤。有一個例外，對股票的SMB斜率上的t統計量大于4;大多數都大于10。SMB是市值因子的模拟回報，它清楚地捕捉了市場和HML所忽略的股票回報的共同變化。此外，股票的SMB的斜率與市值有關。在每一賬面市值比的五分位數中，SMB的斜率從較小的五分位數到較大的五分位數單調地減少。

同樣，HML上的斜率，即賬面市值因素的模拟回報，也與BE/ME相關。在每種市值五分之一的股票中，HML斜率單調地從最低五分之一的低的負值增加到最高五分之一高的的正值。除了第二個五分之一的BE/ME(斜率從負到正)，HML的斜率超過5個标準誤。HML顯然捕捉到了與賬面市值比相關的股票回報的共同變化，但這被市場和SMB所忽視。

考慮到SMB和HML對股票的高的斜率，在回歸中增加兩個回報會導緻R方的大幅增加也就不足為奇了。對于股票來說，市場本身隻産生兩個（在25個中）大于0.9的R方值(表4);在三因素回歸(表6)中，大于0.9的R方值是常規值(25中的21)。對于5個投資組合大小最小的一個投資組合，R方從表4的0.61到0.70之間的值增加到表6的0.94到0.97之間的值。即使是股票最低的3個因素的R方(市值最大、賬面市值比最高的五分之一為0.83)，也遠高于僅由市場産生的0.69。

添加SMB和HML回歸會對股票市場的βs産生有趣的影響。在表4的單因素回歸中，最小市值和最低賬面市值比的股票組合的β值為1.40。在另一個極端,最大市值和最高賬面市值比的股票的投資組合的β值是0.89。在表6的三因素回歸中，這兩個組合的βs是 1.04和1.06。一般來說,添加SMB和HML到回歸使股票得βs接近1.0;低βs上移到1.0和高βs向下移動。當然，這種行為是由于市場與SMB或HML之間的相關性造成的。雖然SMB和HML幾乎不相關(- 0.08)，但RM-RF與SMB和HML回報之間的相關性為0.32和- 0.38。

4.3股票市場與債券市場因素

單獨來看，債券市場因素捕獲股票收益和債券收益的共同變化（表3）。單獨來看，股票市場因素捕獲債券收益和股票收益的共同變化（表6）

（也就是債券因子和股票因子單獨來看，都分别影響着股票收益和債券收益）

這些結果表明，債券和股票收益的随機過程之間存在重疊。我們強調這一點，是因為對股票和債券市場影響因素的聯合測試能把問題搞清楚。

第一部分：Used together來解釋收益回報，表7 債券市場因素繼續在債券收益中起到很強的作用，股票市場因素對股票收益具有較強的作用。對于股票收益（表6中是顯著）而言，加入期限因子和違約風險因子後這些因子的回歸系數均不顯著，而市場因子，賬面市值比因子和規模因子的回歸系數對回歸曲線的影響均非常顯著；反之債券市場（表3中是顯著）也是相同。

表7中的五個因子回歸。然而，似乎與表3和6中的證據相矛盾，債券和股票的收益之間存在較強的重疊，将股票三因子加入到股票收益的回歸模型中，使得債券兩因子本來對股票收益有顯著的關系消失了。反之也是同理，表6中的證據表明債券收益對股市因素的反應也在表7b中基本消失。五因素回歸中，隻有低等級債券組合-LG繼續在股票市場上産生非平凡的斜率。

表7似乎說，債券和股票收益的唯一共同變化來自低級債券。但表3和表6表示，債券和股票市場因素單獨用于解釋收益時，債券和股票收益有着強烈的共同變化。我們能調和這些結果嗎？我們認為，這兩個期限結構因素确實是共同的債券和股票回報。然而，在股票的五因子回歸中，TERM和DEF因子被隐藏在超額的市場回報中。與這兩個期限結構因素相反，三個股票市場的因素一般局限于股票收益；除了低級債券，這些因素并沒有溢出到債券收益中。簡而言之。我們認為股票收益分享了三個股票市場因素，股票和債券收益之間的聯系主要來自兩個共同的期限結構因素。

第二部分：一個使正交化的市場因素-如果股票收益中有多個共同因素，它們都是市場回報，RM，這隻是CRSP-COMPAT-STAT樣本中股票收益的價值加權平均。RM－RF對SMB的HML、TERM和DEF回歸對于1963年7月到1991年12月的月收益說明了這一點：

t統計量位于斜率以下的括号中，R方為0.38。這一回歸表明，市場回報是回報的共同因素的大雜燴。由RM- RF（股票證券投資組合的超額收益）産生的TERM和DEF的強斜率是兩個期限結構因素捕獲股票收益的共同變化的明顯證據。

截距和殘差的總和（L），稱之為RMO，是一個零投資組合收益，與四個解釋變量（I）不相關。我們可以使用RMO作為一個正交化的市場因素，捕捉SMB、HML、期限和DEF留下的共同收益的變化。由于股票市場收益率，SMB和HML在很大程度上與債券市場收益、期限和DEF不相關（表2）。五因子回歸，使用RMO，SMB，HML，TERM。解釋債券和股票收益将清晰地反映債券和股票市場因素在債券和股票收益中的單獨作用。回歸在表8中。

表8b中債券收益的共同變化的情況與表7b一樣，債券市場因素、期限和DEF在債券收益中具有很強的作用。一些債券投資組合在股票市場上産生斜率超過0大約2個标準差。但這主要是因為項和DEF在債券回歸中産生高的R方值，因此非平凡的斜率可以可靠地與0不同。與表7b一樣，隻有低等級債券組合（LG）在股票市場因素上産生非平凡的斜率。否則，股票市場因素對由期限和DEF所影響的債券收益的共同變化沒有多大影響。

對于股票組合而言，表8A的五因子回歸中的RMO的斜率與表7A中的RM- RF的大斜率相同（在構造上），表8A中的斜率和賬面市值比相對于7中的斜率有所偏移（上至SMB，下降為HML）。

但表8A中的SMB和HML在股票組合中的價差與表7A中的價差相似，SMB和HML再次捕捉到股票收益的強烈共同變化。

相對于表7，表8中的5個因素的發生主要變化的期限結構因子是影響股票的因素。TERM的斜率大于14标準誤差為0；DEF斜率為0以上的7個标準誤差。股票的TERM和DEF的斜率類似于債券的斜率。與表7不同的是，表8中的五個因子回歸表明，期限結構因素在股票和債券收益中捕捉到強烈的共同變化。

期限結構變量如何被隐藏在表7A中的五因子回歸中？表8a表明股票收益對RMO，TERM和DEF的關系強烈，但這些因素在斜率上的橫截面變化很小。 所有股票投資組合産生的TERM和DEF斜率接近0.81和0.79，這是由（I）中的超額市場回報産生的斜率。 股票投資組合在表8a中的RMO産生的斜率接近1.0，因此在表7a RM-RF産生的斜率也接近1.0。 表7a和8a則表明，由于RM-RF，RMO，TERM和DEF在斜率上的橫截面變化很小，因此表7a中的超額市場回報吸收了與RMO，TERM和DEF相關的股票收益的常見變化。總之，與表中結構性因素相關的股票收益的常見變化埋在表7a中的超額市場收益中。

表8中的五因素回歸與表7中的回歸有什麼區别？隻有證明這一點，除了三個股票市場因素。 股票收益有兩個債券市場因素。否則，這兩組回歸産生相同的R方值，從而産生相同的總回報變化的估計值。而這兩組回歸産生相同的截距以檢驗五因素模型對平均股票收益橫截面的影響。

5. 橫截面的平均收益

表3至表8中的回歸斜率和R方值确定了股市回報。 SMB，HML和RM-RF（或RMO）以及債券市場回報TERM和DEF 代表風險因素。 它們捕捉債券和股票收益的常見變化。 股票收益與三種股票市場因素有共同的變化，它們通過兩個期限結構因素的共同變化與債券收益挂鈎。 我們接下來測試五種代理風險因素的評平均溢價如何很好地解釋債券和股票的平均回報的橫截面。

平均回報測試以時間序列回歸中的截距為中心。 回歸中的因變量是超額收益。 解釋變量是超額收益（RM-RF和TERM）或零投資組合（RMO，SMB，HML和DEF）的收益。 假設由于公司特定因素導緻的解釋性收益差異很小，所以它們很好地模拟了潛在狀态變量的回報或投資者關心的常見風險因素。 然後，Merton（1973）和Ross（1976）的多因素資産定價模型暗示了一個簡單的檢驗，即與任何一組解釋性收益相關的溢價是否足以描述平均收益的橫截面：時間序列中的截距 模拟投資組合收益的回報超額回報應該與0.1不可區分

由于股票投資組合産生了廣泛的平均收益率，我們首先檢查它們的截距。 我們對模拟是否返回SMB和HML特别感興趣。 吸收平均回報的規模和賬面對市場的影響，如表2所示。然後我們檢查債券的截距。 問題在于不同的因子模型是否預測了表2中平均回報率平均值所拒絕的平均回報率模式。

5.1橫截面平均股票收益

RM-RF - 當超額市場回報是時間序列回歸中唯一的解釋性變量時，股票的截距（表9a）顯示了Banz（1981）的規模效應。 除了最低的BE / ME五分位數。 最小規模投資組合的截距超過了最大0.22％至每月0.37％。 截取也與賬面市值比有關。 在每個大小五分位數中，截距随着BE / ME而增加; 最高BE / ME五分位數的截距超過每月最低0.25％至0.76％的截距。 這些結果與Fama和French（1992a）的證據相平行，即單獨使用市場βs會留下與規模和賬面市值相關的平均股票回報的橫截面變化。

事實上，與Fama and French （1992a）一樣，這裡使用的25種股票投資組合的平均收益率和β之間的簡單關系是平穩的。 β的平均回報的回歸産生-0.22的斜率，其标準誤差為0.31。 Sharpe（1964） - 林特納（1965）模型（β足以描述平均收益的橫截面，β與平均收益之間的簡單關系為正值）在這裡比在我們以前的論文中更為貼切。

SMB和HML - SMB和HML的超額股票收益的雙因素時間序列回歸對25種股票投資組合産生類似的截距（表9a）。 然而，雙因子回歸截距大（每月約0.5％），接近或超過兩個标準差為0.截距的大小相似，支持Fama和French的橫截面回歸結論（1992a）規模和賬面市場因素解釋了各股票之間平均收益的強烈差異。 但大截距也說SMB和HM不能解釋超過一個月的賬單回報的股票回報的平均溢價。

RM-RF，SMB和HML-将超額市場回歸增加到時間序列回歸，将在雙因素（SMB和HML）回歸中觀察到的股票的強正面截距推到接近0的值。隻有25個中的三個 三因素回歸的截距與0不同，每月超過0.2％：16個在0的0.1％以内。接近0的截距表示使用RM-RF、SMB、 HML的回歸吸收常見的收益率時間序列變化很好地解釋了平均股票收益率的橫截面。

當超額市場回報（RM-RE？）被添加到雙因素（SMB和HML）回歸中時，獲得的較小截距有一個有趣的故事。 在三因素回歸中。 股票投資組合在RM-RF附近産生接近I的斜率。平均市場風險溢價（每月0.43％）吸收了SMB和HML股票收益率回歸中觀察到的類似的強正收益率。 總之，規模和賬面市場因素可以解釋不同股票之間的平均回報。 但需要市場因素來解釋為什麼股票收益率平均高于一個月的票據利率。

TERM和DEF - 表9a顯示，将期限結構因子TERM和DEF添加到股票的時間序列回歸中幾乎沒有影響三個股票市場因素産生的截距。同樣。 盡管TERM和DEF單獨用于解釋股票收益（表3），但是它們有很強的斜率。 這兩個變量産生的截距接近表2中25隻股票投資組合的平均超額收益率。

這些結果的原因很簡單。平均TERM和DEF回報（期限結構因素的平均風險溢價）是微不足道的，每月為0.06％和0.02％。 TERM和DEF的高波動性（表2）使他們能夠在表3的雙因素回歸和表8的五因子回歸中捕獲債券和股票收益的實質性常見變化。但是，平均TERM和DEF回報率較低 意味着兩個期限結構因素無法解釋平均股票收益率的橫截面變化。

5.2橫截面平均債券收益

表3. 7b和8b表示債券收益率的常見變化主要受債券市場因素TERM和DEF的影響。 當TERM和DEF處于債券回歸中時，隻有低檔債券組合（LG）對股票市場因素具有非平凡的斜率。 就像TERM和DEF的平均值一樣。 債券投資組合的平均超額收益接近于0（表2），所以債券時間序列回歸的截距（表9b）接近0并不奇怪。

低的平均TERM和DEF溢價意味着期限結構因素在一個明确規定的資産定價模型中是不相關的？ 幾乎不。 TERM和DEF是債券收益常見變化的主要變量。 此外，Fama and-French（1989）和Chen（1991）發現像TERM和DEF這樣的變量的期望值随時間而變化，并且與商業條件有關。 TERM的期望值（貼現率風險溢價）在商業周期波谷附近為正值，在峰值附近為負值。 當經濟狀況較差且違約風險較高時，DEF中違約溢價的預期值較高，而當業務狀況較好時，預期溢價較低。 因此，股票和債券對TERM和DEF的常見敏感性意味着預期股票和債券收益的跨期變化。

5.3回歸截距的聯合檢驗

我們使用Gibbons、Ross 和Shanken的統計（1989）正式檢驗了一組假設，即一組解釋變量為32債券和股票投資組合産生的回歸截距均等于0.對于産生的五組截距F-統計量和bootstrap概率水平 表3至表8中的解釋變量列于表9c。

F檢驗支持上面的截取分析。 測試拒絕了期限結構的假設，TERM和DEF足以解釋債券和股票的平均回報率在0.99水平。 這證實了這一結論，從表9a的回歸截距可以看出，平均TERM和DEF回報率低并不能解釋平均股票收益率的橫截面。 F檢驗拒絕了RA-RF足以解釋0.99水平的平均回報的假設。 這證實了超額市場回報并不能解釋平均股票收益的規模和賬面對市場的影響。 當SMB和HML是唯一的解釋性變量時，觀察到的股票的大正截距産生了拒絕零截距假設在0.98水平的F-統計量。

就F檢驗而言。三種股票市場因素RM-RF，SMB和HML産生最佳表現的截距。盡管如此，所有截至7個債券和25個股票投資組合的聯合測試均為0.95左右的拒絕。拒絕主要來自最低BE / ME五分位股票。在賬面市值比率（成長股票）最低的股票中，與三因素模型的預測相比，最小股票的回報率太低（每月-0.34％，t = -3.16）而最大的股票的回報率太高（每月0.21％，t = 3.27）。換句話說，表9c中三因素模型的拒絕是由于最低BE / ME五分位數沒有規模效應。 BE / ME五分位數最低的五個投資組合在規模因子SMB上産生斜率，與規模強烈負相關（表6）。但與其他BE / ME分位數不同的是，最低BE / ME五分位數的平均回報率與大小無關（表2）。

盡管在F檢驗中被邊際拒絕，但我們認為三因素模型在平均股票收益的橫截面上做得很好。 模型的拒絕僅僅表明，因為RM-RF，SMB和HML吸收了25種股票投資組合的回報的大部分變化（表6中典型的R值大于0.93）。 即使是小的異常平均回報也足以表明三因素模型隻是一個模型，也就是說它是錯誤的。 為了回答這個模型是否可用于應用的重要問題，有趣的結果是，25個三因素回歸截獲股票中的一個（對于最小和最小BE / ME五分位數組合 ）在實際中與0非常不同。

事實上，我們認為使用RM-RF，SMB和HML來解釋平均收益的三因素回歸确實令人驚訝，因為構建規模和賬面市場因素模拟回報SMB和HML的簡單方式是構建的。 盡管SMB和HML肯定包含一些企業特定的噪音作為與規模和賬面市值相關的風險因素的代理，但回歸對于接近0的股票産生截取。

加入期限結構的因素TERM和DEF，以及也使用RM-RF，SMB和HML作為解釋變量的回歸增加F.更大的F來自債券。 股票的五因子回歸截距和R'值接近于三個股票市場因素所産生的值。 但對于債券，添加TERM和DEF結果的殘差标準誤差要低得多。 提高的精确度将兩個政府債券投資組合的五個因子的截距推到了0以外的兩個标準誤差以上。然而，這兩個截距是相當小，每月0.09％和0.11％。

三種股票市場因素産生較低的F值我們認為五因子回歸模型為債券和股票的收益率和平均回報提供了最佳模型。 TERM和DEF主導債券回報的變化。 而且，商業條件下TERM和DEF預期值的變化是F檢驗所忽略的股票和債券預期收益随時間變化的一個有趣部分，而F檢驗隻考慮長期平均收益率。

6.診斷

在本節中，我們檢查了我們推斷的穩健性，即五個常見風險因素解釋了預期股票和債券回報的橫截面。我們首先使用五因素時間序列回歸中的殘差來檢驗回歸在預期回報的橫截面中随時間變化的變化。然後我們檢查我們的實時風險因素是否捕捉到1月份的股票和債券回報季節。接下來是在解釋性回報中使用一組股票的分拆樣本回歸分析。不相交，在依賴回報中設置。這些測試解決了以下擔憂：上述回歸中的規模和賬面市場因素的證據是虛假的，這隻是因為我們使用規模和賬面市場投資組合來獲得依賴性和解釋性回報。最後一個也是最有趣的測試考察了在規模BE / ME投資組合中獲得平均收益的股票市場因素是否也适用于其他變量形成的投資組合，這些變量是已知的有關平均收益的信息。尤其是收益，價格和股息/價格比率。

6.1回歸殘差的可預測性

（a）股息收益率（D / P），（b）高級債券收益率的低級差價（違約利差，DFS），（c）長期利差 期限短期債券收益率（期限利差TS）和（d）短期利率。 [參見Fama（1991）及其中的參考文獻]。如果我們的五個風險因素包含預期收益的橫截面。 股票和債券回報的可預測性應體現在五因子回歸中的解釋性回報（逐月風險溢價）中。 回歸殘差應該是不可預測的。 為了測試這個假設。 我們估計了32個時間序列回歸，

（2）中的e_p（t + I）是表7中五因子回歸的25個股票和7個債券組合的殘差時間序列。股息收益D（t）/ P（t）是股息 在第t個月的紐約證券交易所股票價值加權投資組合中除以第t個投資組合的價值。 默認息差DFS（t）是公司債券市場組合收益率與長期政府債券收益率（來自Ibbotson Associates）之間在t月末的差異。 TS（t）是c月末的長期政府債券收益與一個月期票據利率RF（t）之差。

（2）的估計沒有證據證明五因子時間序列回歸的殘差是可預測的。 在31個回歸中，15個産生R方向的負值（根據自由度進行調整）。 32個R方值中隻有4個超過0.01; 最大的是0.03。 殘差回歸中有128（32 x 4）個斜率。 十個比0多兩個标準差; 它們均分正負值。 他

事實上，已知預測股票和債券收益率的變量不能預測我們的實時因素回歸的殘差，這支持了我們的推斷，即五個風險因素可以反映預期股票和債券收益的橫截面。 殘差檢驗也是一個關鍵回歸規範的有趣信息。 由于我們估計了整個1963 - 1991年期間回歸的回歸斜率，我們隐含地假設，對風險因素的依賴回報的敏感性是恒定的。 如果真正的斜率随時間變化，則回歸殘差可能是虛假的。 可預測性的缺乏表明，假設恒定斜率是合理的，至少對于這裡使用的投資組合是合理的。

6.2 January seasonals

自work Roll（1983）和KEIM（1983），記錄股票收益，尤其是小股票收益率，在一月往往會更高，在資産定價模型的檢驗中，它是尋找未解釋的一月效應的标準。我們對判斷模型解釋一月季節性的能力持懷疑态度。如果季節性在總體上或部分上有樣本誤差，測試就會因包含取向偏差而被拒絕〔LO和McKyLay.（1990）〕。盡管如此，我們還是從我們的五個因素回歸中對殘差中的一月效應進行了測試。我們發現，除了最小的股票。一月效應非常弱。股票和債券收益率的一月季節性因素在很大程度上被我們的風險因子中的季節性因素所吸收。表10是一個虛拟變量的回歸，一月是1，否則是0。回歸截取非一月月份的平均回報，而虛拟度量的斜率表示平均一月回報和其他月份的平均回報之間的差異。

（表10略）

JAN（t）是一個虛拟變量，一月是1，否則是0。RMO是從（那一長串）的回歸中截距和殘差的總和。RM是價值加權的月度股票市場收益。RF是一個月的國庫券利率，在月初開始觀察到。SMB和HML是模拟股票組合收益的大小和股票市場的股票回報率。TERM是LTG-RF，其中LTG是長期政府債券收益。DEF是CB-LTG，其中CB是代理公司債券市場的代理權的回報。

這七個債券組合是1至5年和6年至10年政府債券，評級為AAA、Aa、A，Baa和低于Baa。從1963年至1991年的六月，25種規模的Be/ME投資組合被五分形成為獨立種類的股票的交叉口，成為規模和賬面市值股票。變量在表8中更詳細地描述。

該表确認有一月效應在超額的股票收益裡，強弱與股票市值有關。一月假設的斜率每個月都超過2.92%，超過最小市值五分之二的投資組合兩個标準差的數值。控制BE/ME，額外的一月回報單調遞減且下降速度增大。更有趣的是，股票收益的一月效應也與賬面市值比有關。在每一個市值的五分位數中，一月假設的斜率傾向于增加BE/ME，最高五分之二BE/ME組合的市值的額外一月收益總是每月至少2.38%，2.85個标準差。

一月的季節效應不限于股票收益率。公司債券一月假設的斜率從AAA到LG投資組合單調遞增。對于A,Baa和LG級别的債券，額外一月回報率分别為0.86%、1.14%和1.56%，而這些額外的平均回報率至少為1.94個标準差。

如果我們的五因素時間序列回歸解釋了一月效應的股票和債券收益，那麼風險因素中必然有一月的季節性因素。表10顯示，除了TERM之外，風險因素一月額外收益超過1%和至少I.67的标準差。季節性的大小和賬面市值比兩個因素十分強大。一月SMB和HML的平均回報率是每月的2.73%和2.29%，而額外的一月回報率是4.96，4.7個标準差。事實上，就像25個股票組合的超額收益率和五個公司債券組合是五因素回歸中的因變量。風險因素中額外的一月回報通常比非一月的平均回報更顯著，更可靠地區别于0。

最後，表10顯示，在風險因素中一月效應在很大程度上吸收了股票和債券收益的季節性因素。在一月假設的五個因子殘差的回歸中，隻有最小規模的五分之一的股票組合産生系統性的正向斜率：即使這些斜率在投資組合的原始超額收益率中隻有四分之一到十分之一。如果有的話，餘下規模的五分之一的五個因子殘差顯示一月的負效應，但這些組合一月假設的斜率很小，主要是在兩個标準誤差之内。簡而言之，無論是虛假的還是真實的，一月股票和公司債券回報率的季節性因素在很大程度上是由我們的五因素模型中的風險因素對應的季節性因素來解釋的。

6.3 split sample test

在股票的時間序列回歸中，相關回報和兩個解釋回報SMB和HML是規模和賬面市值權益形成的投資組合。許多讀者擔心SMB和HML的明顯解釋力是虛假的，由回歸設置引起。我們認為這是不可能的。考慮到相關收益是基于更細的大小和BE/ME類别（25個投資組合）而不是SMB和HML回報。我們也似乎不太可能遇到兩個模拟大小報酬和BE/ME因素的因素：（a）在實際不存在的情況下衡量25個投資組合收益的強的共同變化，以及（b）精确地解釋SMB和HML的回歸斜率中的意義。需要解釋25個投資組合規模和賬面市值權益的平均回報率。然而，一個獨立的測試是有意義的。

我們把25個Be/Me投資組合中的股票分成兩個相等的組。一組用于形成時間序列回歸的25相關價值加權投資組合收益。另一種用于形成解釋回報的半樣本版本，RM－RF,SMB,和HML。然後，兩組的角色颠倒過來。并且運行另一組回歸。這樣我們就有兩組回歸。在每個集合中，解釋和相關回報來自不相交的股票組。

在不顯示所有細節的情況下，我們可以在RM-RF，SMB,HML 不相交版本下報告25不同市值BE/ME投資組合超額收益的回歸的兩組結果與表6和表9中的全部樣本結果相似。RM－RF、SMB和HML在分割樣本回歸中的斜率與表6中的斜率接近，截距與表9中的全樣本三因子回歸一樣，接近0。簡而言之，分裂樣本回歸證實了與市值和賬面市值比與相回報的共同的風險因素相關。他們還證實，市場、市值和賬面市值比因素似乎占據了股票平均收益的橫截面。

如果有的話，分裂樣本回歸對于拒絕RM-RF，SMB和HML捕獲占據平均股票收益的橫截面的假設比全樣本回歸更缺乏說服力。由于25相關的投資組合回報在分裂樣本回歸中使用了一半的可用股票，因此投資組合不像表6那樣多樣化。雖然三因子分裂樣本回歸産生高值的R^ 2（大多大于0.88），但它們比表6（大多大于0.9）略低。因此。零截距假設的F檢驗在分裂樣本回歸中弱于全樣本回歸。

6.4 portfolios

對我們的推論市值和賬面市值比風險因素的回報最有趣的檢查，是檢查這些變量是否能解釋投資組合形成的其他變量信息已知的回報的平均回報。表11顯示概要統計，以及一個因子（RM- RF）和三因子（RM- RF）。SMB和HML回歸在收益/價格（E/P）和股利/價格（D/P）比率上形成的投資組合。

E/P投資組合的平均收益在Guffe、KeIM和Westfield（1989）和FAMA和French（1992年A）中都有U形。收入為負的公司的投資組合和前五分之一高E/P的公司的投資組合具有最高的平均回報率。對于積極的E/P投資組合，平均收益從最低到最高——前五分之一高E/P。這種模式對我們的風險因素是一個有趣的挑戰。

月度價值加權超額收益表（部分略）

投資組合形成于t年六月，1963年至1991年。t年的股息收益率（D/P）是從七月的t-1到六月的t， [用FAMA和French（1988）中描述的程序進行測量]。除以六月t-1的市場權益，年t的收益價格比（E/P）是在日曆年T-1結束的會計年度的股權收入除以在t-1的十二月的市場權益。權益收入是在正常收入加上損益表遞延稅項，減去優先股息。D/P或E/P的五分之一斷點僅使用NYSE公司确定正股息或收益。回歸t統計量是圓括号。參見表7對RM－RF ，SMB，和HML的定義

表11證實了巴蘇（1983）中的證據：單因素Sharpe Lintner模型在很大程度上不能解釋平均收益與E/P之間的關系。對于積極的E/P投資組合，在一個因子回歸中的截距增加單調，從每月的-0.20%（t＝2.35），最低五分之一E/P至0.46%（t＝3.69）最高的。單因素模型的失敗有一個簡單的解釋。積極的E/P投資組合的市場β均接近1，因此單因素模型不能解釋E/P與平均收益之間的正相關關系。

相比之下，使用RM－RF、SMB，HML的三因素模型解釋收益率，在平均收益中沒有剩餘E/P效應。五個積極E/P組合的三個因子截距在0-0.1以内（t從-0.12到1.01）。有趣的是，三因素回歸表明，積極E/P投資組合的平均回報率的增長模式是由于它們對賬面市值比因素HML的負荷。最低正五分之一E/P具有HML斜率，-0.50，類似于表6中三因子回歸中最低的五分之一Be/ME的組合所産生的斜率。最高五分之一E/P的HML斜率為0.67，類似于表6中最高五分之一Be/Me的組合。表1證實了E/P和Be/Me在25個組合的市值和Be/Me之間也存在正相關關系。

FAMA和French（1991年B）發現低BE/ME是成長股的特征。即在賬面權益上持續高收益的股票，導緻相對于賬面權益的高股價。高Be/Me在另一方面，賬面權益的持續低收益導緻股票價格下跌。HML的負荷在表II的三因素回歸中表示低E/P股票具有典型的（低BE/ME）成長股票的低平均回報率，而高E/P股票具有與高的平均回報（高BE/ME）。

負E/P組合産生了反對三因素模型的唯一證據。盡管投資組合的平均超額收益率高（每月0.72%）。三因素模型表明其平均回報率為每月0.3%，太低了，考慮到SMB的強勁負荷（1.13，像表6中的最小尺寸組合）和HML（0.46，就像表6中的更高的Be/ME投資組合一樣）。換言之，根據三因素模型，這個投資組合的平均回報率應該更高，因為它的回報就像那些盤子小，相對低迷的股票。然而，負E/P投資組合的三個因素截距隻有1.68個标準誤差。

簡而言之，E/P組合在平均收益率中具有較強的擴散性，這似乎被股票收益的三個共同風險因素所吸收。因此，E/P投資組合對我們的推論是有意義的佐證：（a）股票收益中有共同的風險因素，與市值和賬面市值有關。（b）RM－RF，SMB，和HML，模拟市場，市值和BE/ME風險因素的回歸，占據股票平均收益的橫截面。

6.5 portfolios

表11顯示了這一點，如KeIM（1983）。在D/P上形成的投資組合的平均收益也是U形的，它們從零股息組合下降到最低正D/P組合。然後在積極的D/P投資組合中增加。U形圖案。然而，平均回報率的總體分布在D/P投資組合比E/P組合要弱得多。

表11也證實了Keim（1983）發現單因素Sharpe Lintner模型在平均回報率上留下了一個模式，看起來像是對股息的稅收懲罰。單因素截距從最低到最高的D/P投資組合單調遞增。這表明，較高的D/P股票的稅前收益必須更高，以均衡稅後風險調整後的回報。

但是，在使用RM－RF、SMB和HML來解釋收益的三因素回歸中，明顯的稅收效應在平均收益中不存在。五個正D/P組合的三因子截距接近于0，與D/P沒有關系。三因子回歸表明，正D/P投資組合的平均收益率的增長模式是由于其在賬面市值因素HML上的負荷增加的模式所緻。最低（正）五分之一D/P具有很強的負HML斜率，-0.48，并且高D/P組合具有強的正斜率，0.54。再一次，三因素模型表明，低D/P股票具有典型的成長性股票的平均低回報率，而高D/P股票具有較高的平均收益。表1證實了D/P和Be/Me在25個組合的市值和Be/Me之間也存在正相關關系。

零股利組合對三因素模型産生了最強的反對證據。三因素模型表明，這個組合的高平均超額收益率（每月0.48%）是0.23%，太低（t＝-2.30）。考慮到它在SMB上的強負載（0.99），模拟了市值因子的回報。換句話說，因為零股利組合的回報率不同于小股票組合的回報率，三因素模型表明，這個投資組合的高回報率還不夠高。但在實際應用中，零股息組合的三因素截距很小。此外，三因素模型産生五個正D/P組合的截距都接近0，在統計和實際上。我們得出這樣的結論，總體而言，D/P投資組合與我們的推斷一緻，即三個股票市場因素，RM- RF，SMB，HML。獲取股票平均收益的橫截面。

7解釋和應用

本文研究了股票和債券收益的共同風險因素，并檢驗了這些共同風險是否捕獲了平均收益的橫截面。在收益中至少有五個共同的因素。三個股票市場因素産生了股票收益的共同變化。除低級公司債券外，股票市場因素對政府債券和公司債券的收益影響不大。然而，股票和債券市場是聯系在一起的。通過兩個共享期限結構因素。

7.1應用

表2顯示了三個股票市場因素，RMO，SMB。和HML。在很大程度上是彼此不相關的,同時伴随兩個期限結構因素，TERM和DEF。表8中使用RMO SMB。HML、TERM和DEF的回歸來解釋股票和債券收益，從而提供了五個因素在收益波動性和平均回報的橫截面中的不同作用的一個很好的總結。

這25種股票組合在正交化市場回報率上産生了斜率。RMO都是1左右。因此，RMO，其标準偏差為每月3.55%，在所有股票投資組合的回報中也有類似的共同變化。平均RMO收益率，0.50%個月（t＝2.61）也是股票平均超額收益的共同部分。由于RMO對股票的斜率都在1左右，我們可以将平均RMO收益解釋為股票的溢價（而不是一個月的國債），并分享股票市場的一般風險。

對于股票而言，表8中兩個期限結構收益率的斜率都在0.8左右。TERM和DEF的标準偏差為每月3.02%和1.60%（表2）。然後說TERM在所有股票投資組合的回報上都有類似的變化，按照RMO所捕獲的順序，而DEF捕捉更少的共同的收益變化。平均TERM和DEF回報僅為每月0.06%和0.02%。因此，它們幾乎沒有解釋股票超額收益的平均值。但是預期的TERM和DEF回報随着商業狀況而變化（FAMA和Frand（1989）和陳（1991））。因此，TERM和DEF在預期債券和股票收益中産生有趣的時間序列變化。

除了低級公司債券，在表8的五個因子回歸中，TERM和DEF捕獲幾乎所有的債券回報的共同變化。因此，債券的低平均超額收益率與低的平均TERM和DEF收益非常吻合。表3和8附近的R^2值表示，TERM和DEF解釋了幾乎所有的高評級債券回報變化（AAA，Aa，A）。由于公司債券（around I）的TERM和DEF斜率類似于股票的斜率（大約0.8），我們可以推斷股票幾乎分享了所有高評級公司債券收益的變化。然而，由于股票市場因素，股票有很大的額外的波動性。

在表8的五因子回歸中，RMO，TERM和DEF上的斜率在25個股票組合中變化不大。因此，RMO、TERM和DEF在股票收益中的作用被表7中的超額市場回報RM-RF所捕獲。然而，表7中RM－RF的斜率與表8中RMO上的斜率相同。因此，與RMO、TERM和DEF一樣，超額市場回報不能解釋平均股票收益率及其波動性的強橫截面差異（表2）。這項工作留給SMB和HML，與市值和賬面市值相關的風險因素的模拟回報。

表8中的SMB的斜率超過最小五分之一市值的投資組合1.5，對于最大五分之一的投資組合而言，它們下降到0.3左右。SMB的标準偏差較大，每月2.89%。因此，市值相關的共同回報因素之所以重要，是因為可以解釋為什麼小股票收益比大股票收益變化更大（表2）。平均SMB回報率僅為每月0.27%（t＝1.73）。然而，表8中的SMB斜率從1.92到0.20不等，因此，由于市值相關的風險因素，25個股票組合中的平均收益的預測價差很大，每月0.46%。

表8中的HML的斜率從賬面市值最低的五分之一的投資組合的-1到最高的五分之一Be/Me的0。因此HML往往會增加低BE／ME股票收益的波動性。表2證實了這一點。在市值的五分位數，最低的BE/ME投資組合的回報比最高的BE/ME收益更易波動。特别是對于五分之三最小市值來說，其中五個因子回歸産生R′值接近1。平均HML回報率，每月0.40%（t＝2.91，表2），然後說投資組合在最低五分之一的BE/ME，HML斜率接近1，其平均回報率相對于最高五分之一Be/Me的投資組合每月減少約0.40%，其中HML斜率接近0。

FAMA和French（1992年B）發現賬面市值比與相對盈利能力有關。平均而言，低BE/Me的公司持續收入較高，高BE/ME公司的收益持續不佳。這裡的證據表明，HML，高和低BE/ME股票之間的回報之間的差異，通過時間捕捉與相對盈利業績相關的風險因素的變化。HML降低了低BE/ME股票的平均回報率，因為它們在HML上的負斜率表明它們對沖了與相對盈利能力相關的收益的共同因素。

然而，在時間序列回歸中，關于斜率和平均溢價的詳細介紹是有序的。五個具有解釋性的回報的許多轉換産生相同的截距和R’值。因此，他們産生相同的推論關于總的回報的共同變化和五個因素獲取平均回報的橫截面的能力。但是，不同的轉換改變了要素的斜率和平均溢價。例如，RMO的平均值，正交化的市場回報，是每月0.50%（r＝2.61），RM-RF的0.43%（t＝1.76）。在五因子回歸中使用RMO而不是RM- RF也改變SMB、HML、TERM和DEF上的斜率（比較表7和8）。但RMO和RM- RF産生相同的截距和R’值用于測試五因素資産定價模型。

至少，我們的結果表明，五個因素很好地解釋了（a）債券和股票收益的共同變化和（b）平均回報的橫截面。我們認為，我們簡單地定義了股票市場和債券市場因素的模拟收益。但因素的選擇，特别是市值和賬面市值因素，是根據經驗。如果沒有一個理論指定狀态變量或回報中的公共因素的确切形式，那麼任何特定版本的因素的選擇都是任意的。因此，具體的細節，包括斜率和與特定版本的因素結合的平均溢價都隻是建議，而不是确定性的定義。

7.2應用

原則上，我們的結果可以應用于任何需要估計股票收益的應用。該列表包括（a）選擇投資組合，（b）評估投資組合表現，（c）測量事件研究中的異常回報，以及（d）估計資本成本。應用取決于證據，這五個因素提供了一個很好的描述橫截面的平均回報。但他們并不要求我們已經确定了真正的因素。

如果這五個因素捕獲了平均收益的橫截面，則它們可以用來指導投資組合選擇。對五個風險因素的候選投資組合的風險可以通過投資組合過去的超額收益在五個解釋性收益的回歸來估計。回歸斜率和曆史平均溢價的因素，可以用來估計（無條件）預期收益的投資組合。類似的程序可以用來估計公司證券的預期收益，以判斷其資本成本。（我們預測。然而，在個别證券的五因子參數估計中，抽樣誤差将是一個嚴重的問題。）

如果我們的結果是以面值計算的。評估托管資産組合的性能是很簡單的。在我們的五個解釋性回報中，被管理投資組合超額收益的時間序列回歸的截距是判斷管理者是否能夠擊敗市場所需的平均異常回報率，也就是說，他是否可以使用特殊信息來産生平均回報，大于被動組合的五個風險因素的模拟回報。

對于隻持有股票的投資組合，使用我們的投資組合形成和進行業績評價更簡單。表5到8表示隻使用三個股票市場因素的模型，RM RF、SMB和HML，和五因素模型在解釋股票收益的共同時間序列變化和平均股票收益的橫截面方面做的一樣好。

許多人繼續使用單因素Sharpe Lintner模型來評估投資組合的表現和估計資本成本。盡管缺乏證據表明這是相關的，至少，這裡的結果和法瑪和French人（1992年A）應該有助于打破這個共同的習慣。

最後，在股票價格響應公司特定的信息的事件研究中，股票收益在市場回報率的單因素回歸中的殘差通常用來從收益的一般變化中抽象出來。我們的結果表明，三個因子回歸的殘差，也使用SMB和HML将更好地隔離企業特定的回報成分。

使用三因素替代是特别重要的，如果測試強加橫截面約束的平均股票回報。例如，AgWaWar、賈菲和Mordelk（1991）利用Sharpe Lintner模型的殘差來判斷收購公司的并購後股票收益。意識到并購後的回報似乎太低了，因為收購公司往往規模很大。當測量異常收益時，他們控制規模和超額市場回報。然而，他們發現，并購後五年内，收購公司的平均異常報酬率為負，且規模相似。

我們推測，收購公司的持續負異常收益是一個賬面市值比的影響。我們認為，收購公司往往是成功的公司，具有較高的股票價格相對于賬面價值和低負荷的HML。在我們的三因素模型中，HML上的低負荷将降低收購公司的平均股票回報率。在市場和規模因素調整的測試中産生持續的負異常回報。

7.3沒有定論的問題

合在一起。這裡的結果和FAMA和French（1992年B）的結果表明，在市值和賬面市值的平均股票收益率背後有一個經濟的故事。這裡的測試表明，與市值和賬面市值權益相關的共同回報因素，有助于以與多因素資産定價模型一緻的方式捕獲平均股票收益的橫截面。FAMA和French（1991年B）表明，市值和BE/ME與相對盈利能力和增長的系統模式有關，這可能是回報的共同風險因素的來源。

但是我們的工作還有很多問題。最引人注目的是，我們沒有顯示市值和賬面市值因素是如何由盈利的随機行為驅動的。盈利能力如何？或者其他任何基本因素，産生與市場回報率沒有聯系的市值和賬面市值的共同變化？具體的基礎可以被認定為狀态變量，導緻與市場無關的回報的共同變化，并承擔不同于一般市場風險的溢價嗎？這些和其他有趣的問題留給未來的工作。