量子力學之路（1）——堅實的數理基礎至關重要，沒有捷徑可走

理解量子力學要走一段很長的路，而且沒有捷徑。在本系列中，我将從頭解釋（介紹）量子力學。 “量子（quantum）”這個詞的意思是“數量”。當用作名詞時，它指的是某一物理量的最小離散量。離散本質是量子力學的核心。 為什麼量子力學這麼難？ 這種離散性給許多試圖學習量子力學的人造成了巨大的障礙。而且，在很多情況下，為了解釋量子力學，一些人會犧牲（量子力學的）準确性，甚至使用錯誤的表述；一些科幻作家們為了編造故事而“破壞”了量子力學的規則，從而誤導大衆。 這種出于任何目的而犧牲準确性的解釋，導緻了大衆對量子力學的許多誤解。試圖學習量子力學的人必須花相當多的時間來忘記公衆對量子力學的認知。 本系列的目标 我想把量子力學的思想和量子力學聯系起來。我将為本系列中提到的所有主題提供一個一緻、連貫和嚴格的框架。我希望你不僅能夠理解量子力學，而且能在數學和物理領域打下堅實的基礎。 本系列涉及的主題

1. 運動學與牛頓力學綜述。
2. 如何利用數學工具建立偏微分方程來模拟物理現象。
3. 如何解偏微分方程。
4. 本征值和本征函數。
5. 經典的拉格朗日力學。
6. 經典哈密頓力學。
7. 電磁學。
8. 經典光學，專注于波，衍射和幹涉。
9. 量子力學的開端：紫外突變，光電效應，譜線的離散性質，和弗蘭克-赫茲實驗。
10. 德布羅意關系和波函數的解釋。
11. 量子力學中幾個基本算子的推導及薛定谔方程。
12. 為簡單系統和氫原子解薛定谔方程。
13. 測不準原理。
14. 波函數坍縮。
15. 如何處理無法用分析方法解決的系統。
16. 散射。

其中一些主題将用多篇文章專門讨論。我還将介紹一些沒有在這裡列出的主題（如天體力學）。我甚至可以添加一些更高級的主題，如相對論量子力學，場論，或固體力學。 預備知識 本系列有幾個困難的先決條件：

• 代數：為了解決本系列中的問題，需要能夠運算符号，這就需要遵循代數的規則。
• 微積分：宇宙的定律是用導數和積分來表示的。
• 微積分I和II：宇宙的定律是用導數和積分來表示的。
• 多元微積分（ III）：微積分I和II隻适用于一維或二維空間。我們生活在一個四維時空中，物理定律必須尊重這一點。我會試着解釋像梯度，散度，旋度等概念，以及它們是如何進入物理學的，這要用到多元微積分。

除了以上的先決條件之外，還有一些軟先決條件可以幫助你更好地理解我所說的内容。

• 微分方程和偏微分方程：我将解釋如何建立和解這些微分方程。
• 線性代數。不必多說。
• 概率與統計：量子力學本質上是概率的。

經典力學 要理解量子力學，我們必須先理解它的前身和它的對立面——經典力學。出于這個原因，我要花很多時間來讨論經典力學中出現的東西。這樣，我們就可以通過比較和對比我們對經典力學的理解來理解量子力學。 經典力學的目标 讓我們從經典力學的基本目标開始： 給定一個（組）物體，這個（組）物體的質量及其受力信息，以及給定時間的位置，速度，就能預測物體在之後一段時間的位置。 在實踐中，我們通過建立和求解一組微分方程，即運動方程來實現這一點。 位置 我們的目标是計算物體的位置（作為時間的函數）。此外，由于加速度和速度是基于位置的，我們應該從位置開始。為了定義一個位置，我們需要定義一個坐标系。 坐标系 一個坐标系用一組坐标和一些約定來描述空間中的一個點。描述一個點所需要的坐标數被稱為坐标系統的維數。我們生活在三維空間中，所以需要3個坐标來描述一個點的位置。通常，我們先選擇一個“基準點”，然後用這個“基準點”定義其它坐标。這個“基準點”就是原點。例如，在笛卡爾坐标系中，通過測量一個點到坐标系的每個軸的距離來描述一個點，這些軸是穿過原點的一組垂線。 我們也可以用球坐标或極坐标來描述一個點。在二維空間中，可以用極坐标來測量方向（用角度表示）。
在三維空間中，我們可以使用球坐标來測量兩個角度的方向：緯度(θ)和經度(φ)。我們稱這個坐标系為球面，因為如果保持半徑不變，讓θ和φ變化，就得到一個球面。

最後，在三維空間中，我們可以使用笛卡爾坐标和極坐标的混合，稱為柱坐标。我們稱這個坐标系為圓柱，因為如果保持徑向坐标ρ不變，讓φ和z變化，将得到一個圓柱。 坐标轉換 通常，你會想在一個坐标系中解決一個問題，然後在另一個坐标系中給出結果。有時候，你甚至會想要使用一些坐标系的混合。在任何一種情況下，都需要一些方法來從一個坐标系轉換到另一個坐标系。讓我們首先關注兩個主要的2D坐标系：笛卡爾坐标系和極坐标。首先，我們把極坐标轉換成笛卡爾坐标。有一個點(ρ， φ)看起來像這樣 用基本的三角學知識，可以得到： 為了從笛卡爾坐标過渡到極坐标，我們用勾股定理求徑向坐标，用arctan函數求角坐标。 柱坐标和極坐标很像，但是是z坐标。因此，它使用與上面相同的轉換。将球坐标轉換成笛卡爾坐标要複雜一些。你可以自己試着推導。 向量 從最簡單的意義上說，向量是一個既有方向又有大小的量。如果我們選擇一個原點和坐标軸，就可以把位置、速度、加速度等描述為一個矢量。這樣，我們可以用向量作為獨立于坐标系的對象來做線性代數。 基向量 雖然以(x, y, z)或(r， θ， φ)的形式表示坐标對于表示位置是很好的，但我們可以通過以基向量的形式表示來使數學（例如向量加法、點積、叉積等）變得更容易。這些基向量用一個帶小帽子的坐标符号表示。 每個基向量表示一個點的移動方向，如果你将其對應的坐标值增加一個無限小的量。因為方向沒有長度，所以我們必須将結果除以矢量的長度（稱之為大小）。在數學上，我們将這個概念表示為 其中s表示位置，q表示任意坐标，|v|表示矢量v的大小。 基向量的時間導數 根據定義，笛卡爾基向量不會改變，但是其他的基向量會改變。為了弄清楚它們是如何變化的，我們可以把其他的基向量寫成笛卡爾基向量的形式。例如，通過在笛卡爾坐标系中展開基向量，我們可以求它們的時間導數，然後用多變量鍊式法則來表示坐标的變化。

• 第一行是笛卡爾基向量，是常數。接下來的幾行是求基向量ρ的時間導數的所有步驟。對于φ基向量，我跳過了很多中間代數。

速度 根據定義，速度是位置對時間的導數。為了求出速度，我們可以對每個坐标系中位置的時間求導。在笛卡爾坐标系中，有 這很簡單，因為基向量是常數。在其他坐标系中，基向量會随着位置和時間而變化。在柱坐标中，有 加速度 根據定義，加速度是速度對時間的導數。加速度包括加速、減速和改變方向。同樣地，加速度是位置對時間的二階導數。在笛卡爾坐标系中，加速度很簡單，因為基向量不會改變。 在柱坐标系中，我們必須考慮基向量的變化。 正如你所看到的，在非笛卡爾坐标系中，求加速度很繁瑣。 點符号 我不知道你們怎麼想，但是我有點厭倦了寫這些d/dt。為了不使用萊布尼茨形式的導數，我們通常用坐标上的n個點來表示坐标對時間的n階導數。 使用這個符号，笛卡爾坐标和柱坐标下的加速度變成 運動學方程 現在我們已經知道了位置，速度和加速度怎麼表示了，我們可以繼續研究運動學方程了。在恒定加速度的假設下，運動學方程涉及六個變量為：

1. 初始位置
2. 最終位置
3. 初速度
4. 終速度
5. 加速度
6. 時間

每個方程都有一些這樣的變量，你可以知道其中的一些，然後解出剩下的。 四個簡單的方程式 假設在笛卡爾坐标系中有一個恒定的加速度。在這種情況下，我們可以求從0到t的積分來得到加速度 其中s表示位置，a表示恒定加速度，t為最終時間，τ為積分中表示時間的啞變量，v_0為初速度，v_f為最終速度。這是第一個運動學方程。為了得到第二個運動學方程，我們可以對第一個運動學方程積分。 s是最終的位置，s_₀是初始的位置。為了得到第三個運動學方程，我們解出第一個加速度運動學方程。然後把結果代入第二個運動學方程。 注意(vf + v_₀)/2是平均速度，所以這個方程就是移動的距離等于平均速度乘以時間。為了得到第四個運動學方程，我們解出了第三個初速度的運動學方程。然後把結果代入第二個運動學方程。 點積 為了理解下一個積分的推導，我需要定義點積。你可以把點積看作一個向量指向另一個向量方向的量。如果向量指向同一個方向，點積就會得到每個向量長度的乘積。如果向量指向相反的方向，點積就會得到每個向量長度的負乘積。如果兩個向量是正交的，點積就等于0。在其他情況下，點積給出的是這些值之間的一個數。點積的一個正式定義是 其中a和b是任意向量，|v|是向量的大小，α是兩個向量的夾角。這種形式在計算點積時并不常用，因為我們通常不知道向量之間的夾角。此外，我們有一個更容易使用和計算的形式，利用點積的分配律： 這是一個更簡單的公式。我們取任意兩個向量，在笛卡爾坐标系中表示它們，并求它們的點積。 在最後一行，有基向量之間的點積。根據定義，這些基向量彼此正交，并且具有單位長度。 這就得出了最終結果 用點積分離出維度 在很多情況下，會出現一些向量方程，我們想要分離出各個維度。為了做到這一點，我們可以對方程兩邊取一個特定的向量（通常是笛卡爾基向量之一）的點積。例如，在标準的彈道問題中，我們知道加速度的x和y分量，速度，和初始位置，但不知道時間或最終位置的x分量。 如果我們能分離出向量方程的y部分，就能解出時間。因為點積可以使一些分量歸零，我們可以試着用y基向量對方程兩邊做點積。 稍後，我們将處理無限維向量方程，而得到系數的唯一方法是取“點積”。 最重要的運動學方程 為了得到最後也是最重要的運動學方程，我們可以放棄加速度為常數的要求。從積分開始 我們可以做兩種不同的u替換：adt = dv或vdt = ds（粗體表示向量，而非粗體表示标量或向量的長度）。做第一個u-替換： 因為我們已經“脫離”了對時間的依賴，因此必須把積分變成線積分，線積分測量的是一個矢量在整個路徑上指向運動方向的總量。

• 一個粒子被限制在導線上的例子

做第二次u-替換 v和dv總是指向同一個方向，所以v和dv的點積得到v dv = v (1) dv = v dv。因為我們從同一個積分開始，這兩個結果一定相等 如果在運動方向上有一個恒定的加速度，我們就可以計算積分，得到： 這個運動學方程有什麼特别之處？ 這個方程告訴我們，隻有在運動方向上的加速度才能使物體加速或減速。此外，更強的表述是，隻有在給定方向上的加速度，才能改變該方向上的速度。如果加速度總是垂直于運動方向，那麼物體就會旋轉而不增加速度，從而形成一個圓形路徑。此外，一個以兩倍速度運動的物體需要四倍的距離才能在相同的加速度下減速。同樣，一個物體運動得越快，它為了增加同樣的速度需要加速的距離就越大。最後，如果等式兩邊同時乘以物體的質量，代入力，功，動能的定義，我們就得到了功-能定理。 能量常被描述為“做功的能力”，但什麼是功呢？功-能定理給了我們一個概念。正功使物體加速，負功使物體減速。物體的加速或減速是由淨功決定的，即對物體所做的所有正功和負功的總和。 加深理解和記憶 我建議你們自己嘗試求解這些問題，如果你不能求解這些問題，試着想出一個錯誤的答案，然後證明它是錯誤的。然後，想出一個不同的錯誤答案，并證明這個新答案是錯誤的。如果你做這個過程的時間足夠長，你就會用盡錯誤的答案，你除了想出正确的答案之外别無選擇。 下一步是什麼？ 在下一篇文章中，我們将介紹牛頓力學，并用它們來證明開普勒的行星運動定律。記住，沒有捷徑可走。