量子力學之路（1）——堅實的數理基礎至關重要，沒有捷徑可走
理解量子力學要走一段很長的路，而且沒有捷徑。在本系列中，我将從頭解釋（介紹）量子力學。
“量子（quantum）”這個詞的意思是“數量”。當用作名詞時，它指的是某一物理量的最小離散量。離散本質是量子力學的核心。
為什麼量子力學這麼難？
這種離散性給許多試圖學習量子力學的人造成了巨大的障礙。而且，在很多情況下，為了解釋量子力學，一些人會犧牲（量子力學的）準确性，甚至使用錯誤的表述；一些科幻作家們為了編造故事而“破壞”了量子力學的規則，從而誤導大衆。
這種出于任何目的而犧牲準确性的解釋，導緻了大衆對量子力學的許多誤解。試圖學習量子力學的人必須花相當多的時間來忘記公衆對量子力學的認知。
本系列的目标
我想把量子力學的思想和量子力學聯系起來。我将為本系列中提到的所有主題提供一個一緻、連貫和嚴格的框架。我希望你不僅能夠理解量子力學，而且能在數學和物理領域打下堅實的基礎。
本系列涉及的主題
在三維空間中，我們可以使用球坐标來測量兩個角度的方向：緯度(θ)和經度(φ)。我們稱這個坐标系為球面，因為如果保持半徑不變，讓θ和φ變化，就得到一個球面。 最後，在三維空間中，我們可以使用笛卡爾坐标和極坐标的混合，稱為柱坐标。我們稱這個坐标系為圓柱，因為如果保持徑向坐标ρ不變，讓φ和z變化，将得到一個圓柱。 坐标轉換 通常，你會想在一個坐标系中解決一個問題，然後在另一個坐标系中給出結果。有時候，你甚至會想要使用一些坐标系的混合。在任何一種情況下，都需要一些方法來從一個坐标系轉換到另一個坐标系。讓我們首先關注兩個主要的2D坐标系：笛卡爾坐标系和極坐标。首先，我們把極坐标轉換成笛卡爾坐标。有一個點(ρ， φ)看起來像這樣 用基本的三角學知識，可以得到： 為了從笛卡爾坐标過渡到極坐标，我們用勾股定理求徑向坐标，用arctan函數求角坐标。 柱坐标和極坐标很像，但是是z坐标。因此，它使用與上面相同的轉換。将球坐标轉換成笛卡爾坐标要複雜一些。你可以自己試着推導。 向量 從最簡單的意義上說，向量是一個既有方向又有大小的量。如果我們選擇一個原點和坐标軸，就可以把位置、速度、加速度等描述為一個矢量。這樣，我們可以用向量作為獨立于坐标系的對象來做線性代數。 基向量 雖然以(x, y, z)或(r， θ， φ)的形式表示坐标對于表示位置是很好的，但我們可以通過以基向量的形式表示來使數學（例如向量加法、點積、叉積等）變得更容易。這些基向量用一個帶小帽子的坐标符号表示。 每個基向量表示一個點的移動方向，如果你将其對應的坐标值增加一個無限小的量。因為方向沒有長度，所以我們必須将結果除以矢量的長度（稱之為大小）。在數學上，我們将這個概念表示為 其中s表示位置，q表示任意坐标，|v|表示矢量v的大小。 基向量的時間導數 根據定義，笛卡爾基向量不會改變，但是其他的基向量會改變。為了弄清楚它們是如何變化的，我們可以把其他的基向量寫成笛卡爾基向量的形式。例如，通過在笛卡爾坐标系中展開基向量，我們可以求它們的時間導數，然後用多變量鍊式法則來表示坐标的變化。
- 運動學與牛頓力學綜述。
- 如何利用數學工具建立偏微分方程來模拟物理現象。
- 如何解偏微分方程。
- 本征值和本征函數。
- 經典的拉格朗日力學。
- 經典哈密頓力學。
- 電磁學。
- 經典光學，專注于波，衍射和幹涉。
- 量子力學的開端：紫外突變，光電效應，譜線的離散性質，和弗蘭克-赫茲實驗。
- 德布羅意關系和波函數的解釋。
- 量子力學中幾個基本算子的推導及薛定谔方程。
- 為簡單系統和氫原子解薛定谔方程。
- 測不準原理。
- 波函數坍縮。
- 如何處理無法用分析方法解決的系統。
- 散射。
- 代數：為了解決本系列中的問題，需要能夠運算符号，這就需要遵循代數的規則。
- 微積分：宇宙的定律是用導數和積分來表示的。
- 微積分I和II：宇宙的定律是用導數和積分來表示的。
- 多元微積分（ III）：微積分I和II隻适用于一維或二維空間。我們生活在一個四維時空中，物理定律必須尊重這一點。我會試着解釋像梯度，散度，旋度等概念，以及它們是如何進入物理學的，這要用到多元微積分。
- 微分方程和偏微分方程：我将解釋如何建立和解這些微分方程。
- 線性代數。不必多說。
- 概率與統計：量子力學本質上是概率的。
在三維空間中，我們可以使用球坐标來測量兩個角度的方向：緯度(θ)和經度(φ)。我們稱這個坐标系為球面，因為如果保持半徑不變，讓θ和φ變化，就得到一個球面。 最後，在三維空間中，我們可以使用笛卡爾坐标和極坐标的混合，稱為柱坐标。我們稱這個坐标系為圓柱，因為如果保持徑向坐标ρ不變，讓φ和z變化，将得到一個圓柱。 坐标轉換 通常，你會想在一個坐标系中解決一個問題，然後在另一個坐标系中給出結果。有時候，你甚至會想要使用一些坐标系的混合。在任何一種情況下，都需要一些方法來從一個坐标系轉換到另一個坐标系。讓我們首先關注兩個主要的2D坐标系：笛卡爾坐标系和極坐标。首先，我們把極坐标轉換成笛卡爾坐标。有一個點(ρ， φ)看起來像這樣 用基本的三角學知識，可以得到： 為了從笛卡爾坐标過渡到極坐标，我們用勾股定理求徑向坐标，用arctan函數求角坐标。 柱坐标和極坐标很像，但是是z坐标。因此，它使用與上面相同的轉換。将球坐标轉換成笛卡爾坐标要複雜一些。你可以自己試着推導。 向量 從最簡單的意義上說，向量是一個既有方向又有大小的量。如果我們選擇一個原點和坐标軸，就可以把位置、速度、加速度等描述為一個矢量。這樣，我們可以用向量作為獨立于坐标系的對象來做線性代數。 基向量 雖然以(x, y, z)或(r， θ， φ)的形式表示坐标對于表示位置是很好的，但我們可以通過以基向量的形式表示來使數學（例如向量加法、點積、叉積等）變得更容易。這些基向量用一個帶小帽子的坐标符号表示。 每個基向量表示一個點的移動方向，如果你将其對應的坐标值增加一個無限小的量。因為方向沒有長度，所以我們必須将結果除以矢量的長度（稱之為大小）。在數學上，我們将這個概念表示為 其中s表示位置，q表示任意坐标，|v|表示矢量v的大小。 基向量的時間導數 根據定義，笛卡爾基向量不會改變，但是其他的基向量會改變。為了弄清楚它們是如何變化的，我們可以把其他的基向量寫成笛卡爾基向量的形式。例如，通過在笛卡爾坐标系中展開基向量，我們可以求它們的時間導數，然後用多變量鍊式法則來表示坐标的變化。
- 第一行是笛卡爾基向量，是常數。接下來的幾行是求基向量ρ的時間導數的所有步驟。對于φ基向量，我跳過了很多中間代數。
- 初始位置
- 最終位置
- 初速度
- 終速度
- 加速度
- 時間
- 一個粒子被限制在導線上的例子
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