數學學習：提高思維能力的主要途徑
提要：本文為《怎樣學好數學》 作者趙振威 1986年出版 内容選摘
适讀對象：小學高年級、初中、高中學生以及有一定數學基礎的家長
提高思維能力的主要途徑：
思維能力不是先天就有的，也不是讀幾本書就能得到的。從總體上說，需要在思維科學理論的指導下，經過長期的思維的實踐活動，才能逐步鍛煉培養。
思維能力是一切智能活動的核心。它與其它的一些能力，如觀察能力、理解能力、想象能力、記憶能力、語言表達能力等都是緊密聯系的。提高思維能力的過程，實際上是以思維能力為中心，諸能力互相促進、共同發展的過程。
提高思維能力有多種途徑，前面幾節所談的，實際上與思維能力的培養都是密切相關的。在數學中注意從以下各方面做起，是十分有益的。
1.精心觀察，發掘對象的特征
觀察是思維的知覺，通過觀察，可以幫助我們獲得大量豐富的感性材料。心理學研究表明，人的大腦所獲得的信息，百分之八、九十是通過視覺和聽覺進來的，所以，要發展自己的思維能力，必須勤于觀察，敞開觀察的大門，讓外界信息不斷地進入大腦。為了提高思維的敏捷性和正确性，還必須保證輸入的信息是有系統、有條理的，而不是雜亂無章的。因此，我們不但要勤于觀察，而且要善于觀察，把看和想結合起來，有目的、有計劃、有條理地進行觀察，這樣，才有助于我們發現問題，積極思維。
數學中，可以側重于觀察客觀事物的數量關系和空間形式，在發掘數學對象的概念特征、事物的數量指标、算式的外形結構、圖形的位置關系等方面多下功夫，也就是說，對所考察的數學對象，既要看整體、全貌，又要看局部、細節；既要看數字特點，又要看圖形特征；既要看明顯現象，又要看隐含本質；既要看一般屬性，又要看本質屬性；既要看共同之處，又要看不同之點；既要看各自特征，又要看相互聯系，等等。
2.注重記憶，把握事物的規律
記憶是思維的基礎。心理學實驗表明，沒有記憶，也就沒有思維活動可言。隻有把先前的反映結果有條不紊地保存在頭腦中，才能使當前的反映在先前反映的基礎上進行，使得這種反映更加全面，更為深入。從而也才能進行更複雜更高級的思維活動。
在具體思維時，先前的反映結果與當前的反映，常常是通過由此及彼的聯想來溝通聯系的。數學中的不少問題，在精心觀察的基礎上，通過聯想有關的定義和規律，聯想有關的解題技能和技巧，問題容易得到解決。
集合概念現在是高中數學
3.豐富想象，加強數、形的結合
想象是思維的翅膀。如果沒有想象的參與，形象思維就難以進行，一般思維也不能升華為創造性思維。
這裡所說的形象思維，是指憑借事物的形象（表象）而進行的思維。它主要是通過想象來實現的，也就是把一系列有關的表象融合在一起，構成一幅新形象的圖景。形象思維多用于文藝創作，對于學習數學也有其積極意義。事實上，抽象的數學理論，是以豐富、生動的具體材料為背景的。學習數學，如果缺乏具體形象的支持，如果得不到形象思維的輔助，抽象思維是難于順利進行的。例如，我們通過抽象思維去把握幾何定理時，頭腦中就要出現相應的幾何圖形的鮮明形象，并以它作為支柱展開積極的思維。
随着想象的不斷豐富，把想象和抽象思維結合起來，就能形成創造性的思維。這是學習數學的一種寶貴品質。有了這種品質，在學習時就會對所學的知識進行創造性的加工，思考問題就能左右逢源，得心應手。例如，在解答數學題時，就不會拘泥于死闆的模式，單純地硬套公式，而能從各個不同的側面深入思考，提出多種不同的設想，恰當地進行一題多解。
在數學中，可以側重于在數和形的結合上發展想象能力，具體地說，可以通過多種途徑，豐富數和形的種種表象，不斷地充實已有表象的數量，改善已有表象的質量，擴大已有表象的儲備；豐富數學語言，提高一般語言與數學語言相互“轉譯”的能力，使想象具有更大的概括性、深刻性和内在性；豐富生活經驗，參加創造活動，有目的地捕捉數和形的形象。
4.學習邏輯，發展思維的形式
抽象思維（即邏輯思維）通常可分為形式思維和辯證思維兩類。形式思維是憑借概念，按照形式邏輯規律而進行的思維，這種思維包括概念、判斷、推理等循序提高的各種形式。形式思維是在形式邏輯範圍内活動的，它撇開了事物的運動、變化和發展，是在相對靜止的條件下認識客觀事物的。辯證思維也是憑借概念，但按辯證邏輯規律而進行的思維。這種思維的形式，是具有辯證性質的概念、判斷和推理。辯證思維在辯證邏輯範圍内活動着，它是在運動、變化和發展的情況下去認識客觀事物的。
中學數學是在常數範圍内展開的，它所研究的數量關系，主要還是常量；它所讨論的空間形式，主要還是固定的圖形。這就使形式思維在中學數學中有着廣泛的應用。高等數學主要研究運動、變化着的事物的數量關系和空間形式。這就使辯證思維成為學習和研究高等數學的必要工具。
這就告訴我們，學習邏輯，掌握抽象思維的基本形式，熟悉思維活動的基本規律，可以幫助我們有效地提高思維能力中學數學是在形式邏輯基礎上建立起來的。因此，在學
習過程中，形式思維起着堅實的主幹作用。為了讓讀者對這方面的知識有深切的了解，我們在第三章将以辯證思維作指導，詳細地讨論形式思維的形式和規律。
5.善于總結，活用思維的方法
思維的過程，實質上就是運用思維的方法去認識客觀事物的過程。從這個意義上來說，要發展自己的思維能力，就必須自覺地掌握思維的方法。
但是，常用的思維方法，不是固定不變的模式，通常需要斟酌問題的具體情形，靈活地結合起來使用，才能有效地進行思維。這就要求我們，在自己的各種具體思維的過程中，要善于總結成功的經驗，努力找出失敗的教訓。
總結思維中的成功經驗，有多種方式。例如，關于解答數學題，至少可以從兩方面進行總結：一是總結數學題的類型，把屬于同一概念而以不同形式出現的數學題，或由某一數學題或概念衍生出來的數學題進行歸納整理，找出其在思維上的特點和處理方法；二是總結重要定理、公式和常用解題方法的應用，探索其适用範圍和使用方法。通過這樣的總結，有助于提高思維的準确性、敏捷性和創造性，為靈活運用各種思維方法創設條件。
找出思維中的失敗教訓，也有多種方法。例如，關于解答數學題，常常可以從題解是否做到正确、合理、完滿、簡捷、清楚等方面去探究，不斷總結失敗教訓，有助于提高思維的全面性、深入性和邏輯性，增強運用各種思維方法的自覺性。
提高思維能力，是一個複雜的、綜合訓練的過程，上面所講的隻是一些主要方面。讀者可以根據自己的具體情況，在思維訓練的實踐中，作進一步的探索。
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