高考數學秘笈2——四步解題法之整體框架
經驗不隻一次地告訴我們：知識不足還可以補救，方法不夠也可以積累，但若不善思考，即使再有知識和方法，卻不懂得如何運用它們解決問題，也是枉然。
與此相反，掌握了正确的思維方法，知識就不再是孤立的，方法也不再是呆闆的，它們都建立了有血有肉的聯系，組成了生機勃勃的知識方法體系，數學思維活動也就充滿活力，得到更完美的發揮與體現。
數學思維方法，通常又表現為一種解題的思維模式。例如，美國數學教育家波利亞就在其名著《怎樣解題》中列出了如下一張著名的解題表。
“怎樣解題”表
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（弄清問題）未知數是什麼?已知數據是什麼?條件是什麼?滿足條件是否可能?要确定未知數，條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多餘的?現者是矛盾的?畫張圖，引入适當的符号。把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來?
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（拟定計劃）你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同!你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?看着未知數!試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這裡有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題，你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素:你能不能重新叙述這個問題?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關問題。你能不能想出一個更容易着手的有關問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問題?你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分面舍去其餘部分，這樣對于未知數能确定到什麼程度?它會怎樣變化?你能不能從已知數據導出某些有用的東西?你能不能想出适合于确定未知數的其它數據?如果需要的話，你能不能改變未知數或數據?或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近?你是否利用了所有的已知數據?你是否利用了整個條件:你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?
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（實現計劃）實現你的求解計劃，檢驗每一步驟，你能否清楚地看出這一步驟是正确的?你能否證明這一步驟是正确的?
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（回顧）你能否檢驗這個論證?你能否用别的方法導出這個結果?你能不能一下子看出它來?你能不能把這個結果或方法用于其它的問題?
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容許我們大膽斷言，任何一種解題模式均不可能囊括人們在解題過程中表現出來的各種思維特征。諸如觀察、識别、猜想、嘗試、回憶、比較、直覺、頓悟、聯想、類比、歸納、演繹、想像、反例，一般化、特殊化等。這些思維特征充滿解題過程中的各個環節，要想用一個模式來概括，那就像用數以千計的思維元件來構造一個複雜而龐大的解題機器。這在理論上也許是可行的，但在實際應用中卻難于被人們（特别是中學生）所接受。因此，人們希望找到一種比較實用而又具有一定的普遍意義的解題模式，波利亞的解題表就是這樣一種模式。但其表過于龐大，不容易記憶，操作也不甚方便。
在此表的啟發下，我們經過反複摸索與實踐，研究出一種新的解題模式——四步解題法。
所謂四步解題法，就是把數學解題的思維過程劃分為四個環節:
（一）明确目标，尋找條件。
（二）發現差異，揭示本質。
（三）構造相同，聯想相似。
（四）抉擇通道，轉化矛盾。
完成此四個步驟，稱為一個解題循環，通過多次循環，最終使問題獲解。具體可用樞圖表示如下：
上圖說明，解題進入第一環節後，一些簡單的問題即可找到解題途徑。此時，便可跳越二、三兩個環節，直接進入第四環節;若問題比較複雜，經過第一環節還看不清從何處着手，則可進入第二環節。
經過此環節後，若找到了問題的突破口，則又可跳越第三環節而進入第四環節。若否，則先進入第三環節，然後再進入第四環節。
至此，便完成解題的一次循環(每次循環中，第一環節和第四環節都是必經環節)。經過一次循環後，原問題便被轉化為一個新問題（包括問題的條件和結論）。
如果這個新問題已經知道如何解決，解題分析便到此結束。若否，則再進入第一環節，開始新的循環，重新研究轉化後的新問題。
如此反複循環，反複轉化，直至問題獲解，這就是四步解題法的基本内容。
如果我們把數學問題看作一個螺旋式的多級台階，而解題就是要攀登到台階的頂端。那麼，四步解題法的每一次循環，就是攀越台階的一級階梯。反複循環，反複攀越，最終達到台階的頂端。
因“台階”有高有低，“循環”也就有多有少，并且，在每上一級階梯的單個循環中，并不一定都要經過四步解題法的四個步驟，根據問題的難易、繁簡不同，某些步驟可能出現一些跳越現象。
我們認為，把數學思維過程程序化，給解題思維一種定式的框架，不僅不會襟锢人的思維,反而有助于思維的發散。
實際上，定勢思維按照一種固定的模式去思考，它表現出思維的一種準備狀态，并能随時擴大已有經驗的應用範圍。定勢的不斷熟練與完善，使思維更加深入與靈活。另外，發散思維以定勢思維為前提，它常常表現為對定勢的調節與多異。發散不是目的，發散後勢必形成新的定勢，使解題通向成功。
由此可見，四步解題法這種定勢的思維模式，對于助人們分析問題、尋求解法，提高解題能力，都将起到一定的積極作用。
當然，如果讀者已經掌握了某些問題的專門解法，而且很有應用它們的經驗，并在遇到類似的新問題時，能迅速識别它們的類型，把它們納入已有的知識系統。那麼，你就隻須根據過去的經驗，按照原來的方法求解就行了。
一旦你對有關知識的了解達到了這種熟練的程度，那麼，四步解題法或其它的科學思維方法對你解這些問題來說，就沒有什麼價值了，而且也确實有些數學問題是隻須依樣畫葫蘆的。但必須指出，這些問題稍作改變，那些你所熟悉的方法，可能就不再适應了。我們舉一個例子：
比如，“消元法”你一定是比較熟悉的，也許你對”已知x+4y=1，求x²+xy-x+2y的極值”這樣的問題，就無須思考，可直接找到解法。
但是，問題稍作改變，變為“已知x+2xy+4y=1，求x²+xy-x+2y的極值”，你可能就不那麼得心應手了，甚至還束手無策。這時，你就需借助科學的思維方法來尋求解題途徑。
大家可以自己先想想，這個變異後的題目應該怎麼做，答案我們将在後面介紹。
另外，數學中可依樣畫葫蘆的數學問題也畢竟很少，并且對任何解題者來說，總不可能每解一題都記住一種解題方法。因此，科學的思維方法不論對怎樣的解題者都顯得非常重要。即使是很有經驗的解題者，一旦掌握了科學的思維方法，就會從更高的層次去把握他所熟悉的方法，使之更完美、更實用、更有威力!
總之，四步解題法這種模式化了的數學思維方法，可以幫助你在解題時從記憶庫裡提取解題所需要的基礎知識和具體解題方法，通過問題本身的提示，把已有的知識、方法與要解決的問題聯系起來，建立良好的信息交往，使解題獲得成功。
即使是對那些你“一看就會”的問題，運用四步解題法來尋求解題途徑也不無意義，它可以幫助你驗證四步解題法的威力，使你萌發運用它的興趣與決心。
我們在具體分析每一個環節究竟如何實施解題之前，後面的文章将會先略舉幾例，說明四步解題法的具體操作過程，使讀者對這一方法有個初步了解。
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