如圖,在三角形ABC中,AB<AC<BC,點D在BC上,點E在BA的延長線上,且BD=BE=AC,三角形BDE的外接圓與三角形ABC的外接圓交于點F,
求證:BF=AF+CF
分析:這道題可以說是有點難了。根據要證的結論,通常可以采取把AF延長CF的長度,然後判斷三角形全等來得證。
如下圖,延長AF至點G,使得FG=FC,連接GC、FD。
觀察圖形,如果能夠證明三角形BFD≌三角形AGC,則可得到所要證的結論。
已經有∠FBD=∠GAC(同一個圓中,圓弧FC所對應的圓周角),
有AC=BD(已知條件),
如果能夠再證明兩個角相等就行,
觀察兩個等腰三角形BED和FGC,它們的頂角∠EBD=∠GFC(圓的内接四邊形BAFC的一個外角等于内對角),所以兩個等腰三角形的底角也相等,則有∠BDE=∠FCG,
因為∠EDF=∠EBF=∠ACF,
所以∠BDF=∠ACG,
從而△BFD≌△AGC,即得BF=AG=AF+CF。
小結:此題的難點在于圖形有兩個圓之後令人眼花缭亂。準确利用“截長補短”的思路,以及冷靜分析圓内接四邊形的性質、圓周角的判定,證明不算太難。
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