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由面積産生的函數關系問題

由面積産生的函數關系問題主要分為以下兩類:①幾何背景下的三角形或四邊形中的線段與面積間函數關系的建立;②二次函數背景下點的坐标或線段長度與面積間函數關系的建立。

常見的三角形面積的求法如下圖所示。 一般首選直接法 ,用字母表示三角形的底或高,用面積公式直接計算;當無法直接求面積時,有以下三種方法:① 間接法,用面積差或面積和來求面積 ;② 當三角形同底或同高時,三角形的面積比等于高之比或底之比 ;③ 當出現相似三角形或A/X型基本圖形時,相似三角形的面積比等于相似比的平方 。

一、直接法求三角形面積

解法分析: 本題中三角形的底邊為BP,其長度為x,利用三角比可以表示出該三角形的高,因此可以直接求出三角形的面積。
二、間接法求三角形面積

解法分析:本題中三角形的面積無法直接求,因此本題有兩種方法。

方法1:利用面積差計算

解法分析:過點A作BC垂線,利用銳角三角比或比例線段,從而用含x的代數式表示出△ADE,四邊形DGFE和四邊形BGFC的面積,利用面積差求出△BDG的面積。

方法2:利用相似三角形的性質以及等積法計算

解法分析:延長DG交BC于Q,利用相似三角形的面積比以及等高的三角形的面積比等于底之比來求解。

方法:利用相似三角形的性質以及等積法計算

解法分析:利用△BEF是中間量,因此可以借助相似三角形面積比等于相似比的平方以及等高三角形面積比等于底之比,來求出面積的比值。

方法:利用相似三角形的性質以及面積差綜合求面積

解法分析: 首先先發現圖中的相似三角形:△BCE∽△ACD,由于△ACD的面積是可求的,因此可以用含x的代數式表示出△BCE的面積,繼而利用面積差求出四邊形的面積。 定位相似三角形 :共頂點旋轉型相似三角形

用相似比計算面積 :

常見的平面直角坐标系中三角形面積的求法如下圖所示。對于不規則(任意一邊不平行坐标軸或不在坐标軸上)的三角形往往采用割補的方法求解,但是由于二次函數中常常含有二次項,為了計算簡便往往采用下圖的兩種方法計算面積,即“橫着分割”或“豎着分割”。面積分别為1/2DE(B的橫坐标-C的橫坐标)及1/2CE(D的縱坐标-B的縱坐标)。

對于二次函數中的面積問題,也要根據點的位置進行分類讨論。當割補法無法求出三角形面積時,也可以借助相似三角形的性質或等積法求三角形的面積。

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