初中數學：一元二次方程常考題講解（精）

初中數學：一元二次方程常考題講解（精）

一、單選題

1．如圖，某小區計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩餘的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設道路的寬為xm，則下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570

C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570

【答案】A

【解析】

【詳解】

六塊矩形空地正好能拼成一個矩形，設道路的寬為xm，根據草坪的面積是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，

故選A.

2．某種植基地2016年蔬菜産量為80噸，預計2018年蔬菜産量達到100噸，求蔬菜産量的年平均增長率，設蔬菜産量的年平均增長率為x，則可列方程為（　　）

A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100

【答案】A

【解析】

【分析】

利用增長後的量=增長前的量×（1+增長率），設平均每次增長的百分率為x，根據“從80噸增加到100噸”，即可得出方程．

【詳解】

由題意知，蔬菜産量的年平均增長率為x，

根據2016年蔬菜産量為80噸，則2017年蔬菜産量為80（1+x）噸，

2018年蔬菜産量為80（1+x）（1+x）噸，預計2018年蔬菜産量達到100噸，

即：80（1+x）2=100，

故選A．

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用（增長率問題）．解題的關鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年的産量的代數式，根據條件找準等量關系式，列出方程．

3．在一次酒會上，每兩人都隻碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數為（ ）

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

【答案】C

【解析】

【分析】

設參加酒會的人數為x人，根據每兩人都隻碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

【詳解】

設參加酒會的人數為x人，依題可得：

x（x-1）=55，

化簡得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（舍去），

故答案為C.

【點睛】

考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題中的等量關系列出方程.

4．某鋼鐵廠一月份生産鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進操作技術，使得第一季度共生産鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？若設二、三月份平均每月的增長率為x，則可得方程（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【詳解】

第一個月是560，第二個月是560（1+x），第三月是560（1+x）2

，所以第一季度總計560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，選D.

5．李大爺要圍成一個矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長的牆，用籬笆圍成的另外三邊總長應恰好為24米．要圍成的菜園是如圖所示的矩形ABCD．設BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，則y與x之間的函數關系式是( )

A．y=－2x+24(0x＋12(0

C．y=2x－24(0x－12(0

【答案】B

【解析】

【詳解】

由實際問題抽象出函數關系式關鍵是找出等量關系，本題等量關系為“用籬笆圍成的另外三邊總長應恰好為24米”，結合BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，可得BC＋2AB=24，即x＋2y=24，即

y=－x＋12．因為菜園的一邊是足夠長的牆，所以0

6．某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主幹長出若幹數目的支幹，每個支幹又長出同樣數目的小分支，主幹、支幹和小分支的總數是，則這種植物每個支幹長出的小分支個數是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

設這種植物每個支幹長出x個小分支，根據主幹、支幹和小分支的總數是43，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論

【詳解】

設這種植物每個支幹長出個小分支，

依題意，得：，

解得： （舍去），．

故選C．

【點睛】

此題考查一元二次方程的應用，解題關鍵在于列出方程

7．揚帆中學有一塊長，寬的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區域種花，小禹同學設計方案如圖所示，求花帶的寬度．設花帶的寬度為，則可列方程為（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根據空白區域的面積矩形空地的面積可得.

【詳解】

設花帶的寬度為，則可列方程為，

故選D．

【點睛】

本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是根據圖形得出面積的相等關系.

8．如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為米，則根據題意，列方程為（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

把陰影部分分别移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個矩形，根據種植的面積為600列出方程即可．

【詳解】

解：如圖，設小道的寬為，

則種植部分的長為，寬為

由題意得：．

故選C．

【點睛】

考查一元二次方程的應用；利用平移的知識得到種植面積的形狀是解決本題的突破點；得到種植面積的長與寬是解決本題的關鍵．

9．在某籃球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽36場，設有x個隊參賽，根據題意，可列方程為（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

共有x個隊參加比賽，則每隊參加（x-1）場比賽，但2隊之間隻有1場比賽，根據共安排36場比賽，列方程即可．

【詳解】

解：設有x個隊參賽，根據題意，可列方程為：

x（x﹣1）＝36，

故選A．

【點睛】

此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關鍵在于得到比賽總場數的等量關系.

10．某超市一月份的營業額為200萬元，已知第一季度的總營業額共1000萬元，如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應為（　　）

A．200（1+x）2＝1000

B．200+200×2x＝1000

C．200+200×3x＝1000

D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000

【答案】D

【解析】

【分析】

根據增長率問題公式即可解決此題，二月為200（1+x），三月為200（1+x）2，三個月相加即得第一季度的營業額.

【詳解】

解：∵一月份的營業額為200萬元，平均每月增長率為x，

∴二月份的營業額為200×（1+x），

∴三月份的營業額為200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，

∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，

即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．

故選D．

【點睛】

此題考察增長率問題類一元二次方程的應用，注意：第一季度指一、二、三月的總和.

二、解答題

11．一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為________件；

（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？

【答案】（1）26；（2）每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元.

【解析】

【詳解】

分析：（1）根據銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降價3元，則平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天銷售數量為20+6=26件；

（2）利用商品平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種商品利潤列出方程解答即可．

詳解：（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為20+2×3=26件．

（2）設每件商品應降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元．

根據題意，得 （40-x）（20+2x）=1200，

整理，得x2-30x+200=0，

解得：x1=10，x2=20．

∵要求每件盈利不少于25元，

∴x2=20應舍去，

∴x=10．

答：每件商品應降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元．

點睛：此題主要考查了一元二次方程的應用，利用基本數量關系：平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關鍵．

12．某公司今年1月份的生産成本是400萬元，由于改進技術，生産成本逐月下降，3月份的生産成本是361萬元．假設該公司2、3、4月每個月生産成本的下降率都相同．

（1）求每個月生産成本的下降率；

（2）請你預測4月份該公司的生産成本．

【答案】（1）每個月生産成本的下降率為5%；（2）預測4月份該公司的生産成本為342.95萬元．

【解析】

【分析】

（1）設每個月生産成本的下降率為x，根據2月份、3月份的生産成本，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；

（2）由4月份該公司的生産成本=3月份該公司的生産成本×（1﹣下降率），即可得出結論．

【詳解】

（1）設每個月生産成本的下降率為x，

根據題意得：400（1﹣x）2=361，

解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．

答：每個月生産成本的下降率為5%；

（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），

答：預測4月份該公司的生産成本為342.95萬元．

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正确列出一元二次方程；（2）根據數量關系，列式計算．

13．如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房牆，另外三邊用25m長的建築材料圍成，為方便進出，在垂直于住房牆的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分别為多少時，豬舍面積為80m2？

【答案】10，8．

【解析】

【詳解】

試題分析：可以設矩形豬舍垂直于住房牆一邊長為m，可以得出平行于牆的一邊的長為m，由題意得出方程 求出邊長的值．

試題解析：設矩形豬舍垂直于住房牆一邊長為m，可以得出平行于牆的 一邊的長為m，由題意得 化簡，得，解得：

當時，（舍去），

當時，，

答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m．

考點：一元二次方程的應用題．

14．山西特産專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，後來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：

（1）每千克核桃應降價多少元？

（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，赢得市場，該店應按原售價的幾折出售？

【答案】（1）4元或6元；（2）九折.

【解析】

【詳解】

解：（1）設每千克核桃應降價x元.

根據題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，

化簡，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.

答：每千克核桃應降價4元或6元.

（2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元.

∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應降價6元.

此時，售價為：60﹣6=54（元），.

答：該店應按原售價的九折出售.

15．在水果銷售旺季，某水果店購進一優質水果，進價為20元/千克，售價不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據銷售情況，發現該水果一天的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）滿足如下表所示的一次函數關系．

銷售量y（千克）	…	34.8	32	29.6	28	…
售價x（元/千克）	…	22.6	24	25.2	26	…

（1）某天這種水果的售價為23.5元/千克，求當天該水果的銷售量．

（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那麼該天水果的售價為多少元？

【答案】（1）當天該水果的銷售量為33千克；（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，該天水果的售價為25元．

【解析】

【分析】

（1）根據表格内的數據，利用待定系數法可求出y與x之間的函數關系式，再代入x=23.5即可求出結論；

（2）根據總利潤每千克利潤銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．

【詳解】

（1）設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，

将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，

，解得：，

∴y與x之間的函數關系式為y=﹣2x+80．

當x=23.5時，y=﹣2x+80=33．

答：當天該水果的銷售量為33千克．

（2）根據題意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，

解得：x1=35，x2=25．

∵20≤x≤32，

∴x=25．

答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那麼該天水果的售價為25元．

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）根據表格内的數據，利用待定系數法求出一次函數關系式；（2）找準等量關系，正确列出一元二次方程．

16．“互聯網+”時代，網上購物備受消費者青睐．某網店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當售價為每條80元時，每月可銷售100條．為了吸引更多顧客，該網店采取降價措施．據市場調查反映：銷售單價每降1元，則每月可多銷售5條．設每條褲子的售價為元(為正整數)，每月的銷售量為條．

(1)直接寫出與的函數關系式；

(2)設該網店每月獲得的利潤為元，當銷售單價降低多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

(3)該網店店主熱心公益事業，決定每月從利潤中捐出200元資助貧困學生．為了保證捐款後每月利潤不低于4220元，且讓消費者得到最大的實惠，該如何确定休閑褲的銷售單價？

【答案】(1)；(2)當降價10元時，每月獲得最大利潤為4500元；(3)當銷售單價定為66元時，即符合網店要求，又能讓顧客得到最大實惠．

【解析】

【分析】

(1)直接利用銷售單價每降1元，則每月可多銷售5條得出與的函數關系式；

(2)利用銷量×每件利潤＝總利潤進而得出函數關系式求出最值；

(3)利用總利潤，求出的值，進而得出答案．

【詳解】

解：(1)由題意可得：整理得；

(2)由題意，得：

∵，

∴有最大值，

即當時，，

∴應降價(元)

答：當降價10元時，每月獲得最大利潤為4500元；

(3)由題意，得：

解之，得：，，

∵抛物線開口向下，對稱軸為直線，

∴當時，符合該網店要求

而為了讓顧客得到最大實惠，故，

∴當銷售單價定為66元時，即符合網店要求，又能讓顧客得到最大實惠．

【點睛】

此題主要考查了二次函數的應用，我們首先要吃透題意，确定變量，建立函數模型，然後結合實際選擇最優方案，正确得出與之間的函數關系式是解題關鍵．

17．水果店張阿姨以每斤2元的價格購進某種水果若幹斤，然後以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤，通過調查發現，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售．

（1）若将這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是斤（用含x的代數式表示）；

（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需将每斤的售價降低多少元？

【答案】（1）100+200x；（2）1．

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）銷售量=原來銷售量﹣下降銷售量，列式即可得到結論；

（2）根據銷售量×每斤利潤=總利潤列出方程求解即可得到結論．

試題解析：（1）将這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是100+×20=100+200x斤；

（2）根據題意得：，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．

答：張阿姨需将每斤的售價降低1元．

考點：1．一元二次方程的應用；2．銷售問題；3．綜合題．

18．如圖，要利用一面牆(牆長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？

【答案】羊圈的邊長AB，BC分别是20米、20米.

【解析】

【詳解】

試題分析：設AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米；然後根據矩形的面積公式列出方程．

試題解析：設AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米． 根據題意得 （100﹣4x）x=400，

解得x1=20，x2=5． 則100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20

考點：一元二次方程的應用．

19．商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取适當的降價措施．經調查發現，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．

(1)若某天該商品每件降價3元，當天可獲利多少元？

(2)設每件商品降價x元，則商場日銷售量增加____件，每件商品，盈利______元(用含x的代數式表示)；

(3)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2000元？

【答案】（1）若某天該商品每件降價3元，當天可獲利1692元；

（2）2x；50﹣x．

（3）每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元．

【解析】

【分析】

（1）根據“盈利=單件利潤×銷售數量”即可得出結論；

（2）根據“每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件”結合每件商品降價x元，即可找出日銷售量增加的件數，再根據原來沒見盈利50元，即可得出降價後的每件盈利額；

（3）根據“盈利=單件利潤×銷售數量”即可列出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據盡快減少庫存即可确定x的值．

【詳解】

（1）當天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．

答：若某天該商品每件降價3元，當天可獲利1692元．

（2）∵每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件，

∴設每件商品降價x元，則商場日銷售量增加2x件，每件商品，盈利（50-x）元．

故答案為2x；50-x．

（3）根據題意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，

整理，得：x2-35x+250=0，

解得：x1=10，x2=25，

∵商城要盡快減少庫存，

∴x=25．

答：每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元．

【點睛】

考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找出數量關系列出一元二次方程（或算式）．

20．為響應“把中國人的飯碗牢牢端在自己手中”的号召，确保糧食安全，優選品種，提高産量，某農業科技小組對A、B兩個玉米品種進行實驗種植對比研究．去年A、B兩個品種各種植了10畝．收獲後A、B兩個品種的售價均為2.4元/kg，且B品種的平均畝産量比A品種高100千克，A、B兩個品種全部售出後總收入為21600元．

（1）求A、B兩個品種去年平均畝産量分别是多少千克？

（2）今年，科技小組優化了玉米的種植方法，在保持去年種植面積不變的情況下，預計A、B兩個品種平均畝産量将在去年的基礎上分别增加a%和2a%．由于B品種深受市場歡迎，預計每千克售價将在去年的基礎上上漲a%，而A品種的售價保持不變，A、B兩個品種全部售出後總收入将增加，求a的值．

【答案】（1）A品種去年平均畝産量是400、B品種去年平均畝産量是500千克；（2）10．

【解析】

【分析】

（1）設A、B兩個品種去年平均畝産量分别是x、y千克，根據題意列出方程組，解方程組即可得到答案；

（2）根據題意分别表示A品種、B品種今年的收入，利用總收入等于A品種、B品種今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．

【詳解】

（1）設A、B兩個品種去年平均畝産量分别是x、y千克，由題意得

，

解得．

答：A．B兩個品種去年平均畝産量分别是400、500千克

（2）根據題意得：．

令a%=m，則方程化為：．

整理得10m2-m=0，

解得：m1=0（不合題意，舍去），m2=0.1

所以a%=0.1，所以a=10，

答：a的值為10．

【點睛】

本題考查的是二元一次方程組的應用，一元二次方程的應用，掌握列方程或方程組解應用題的方法與步驟是解題的關鍵．

21．我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，後來經過市場調查發現，單價每降低 10 元，則平均每周的銷售量可增加 40 千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利 41600 元，請回答：

（1）每千克茶葉應降價多少元？

（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，赢得市場，該店應按原售價的 幾折出售？

【答案】（1）每千克茶葉應降價30元或80元；（2）該店應按原售價的8折出售．

【解析】

【分析】

（1）設每千克茶葉應降價x元，利用銷售量×每件利潤=41600元列出方程求解即可；

（2）為了讓利于顧客因此應下降價80元，求出此時的銷售單價即可确定幾折．

【詳解】

（1）設每千克茶葉應降價x元．根據題意，得：

（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．

化簡，得：x2﹣10x+240=0．

解得：x1=30，x2=80．

答：每千克茶葉應降價30元或80元．

（2）由（1）可知每千克茶葉可降價30元或80元．因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克茶葉某應降價80元．

此時，售價為：400﹣80=320（元），．

答：該店應按原售價的8折出售．

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題目中的等量關系列出方程．

22．如圖，在長方形ABCD中，邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的兩個根．點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿△ABC邊A→B→C→A的方向運動，運動時間為t（秒）．

（1）求AB與BC的長；

（2）當點P運動到邊BC上時，試求出使AP長為時運動時間t的值；

（3）當點P運動到邊AC上時，是否存在點P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t為10秒或9.5秒或秒時，△CDP是等腰三角形.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）解一元二次方程即可求得邊長；

（2）結合圖形，利用勾股定理求解即可；

（3）根據題意，分為：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三種情況分别可求解.

試題解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0

∴＝3或＝4 .

則AB＝3，BC＝4

(2)由題意得

∴，(舍去)

則t＝4時，AP＝.

(3)存在點P，使△CDP是等腰三角形.

①當PC＝PD＝3時， t＝ ＝10(秒).

②當PD＝PC(即P為對角線AC中點)時，AB＝3，BC＝4.

∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5

∴t＝ ＝9.5(秒)

③當PD＝CD＝3時，作DQ⊥AC于Q. ，

∴PC＝2PQ＝

∴(秒)

可知當t為10秒或9.5秒或秒時，△CDP是等腰三角形.

23．随着粵港澳大灣區建設的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰略性新興産業，據統計，目前廣東5G基站的數量約1.5萬座，計劃到2020年底，全省5G基站數是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數量将達到17.34萬座．

（1）計劃到2020年底，全省5G基站的數量是多少萬座？；

（2）按照計劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率．

【答案】（1）6萬座；（2）.

【解析】

【分析】

（1）2020年全省5G基站的數量=目前廣東5G基站的數量×4，即可求出結論；

（2）設2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率為x，根據2020年底及2022年底全省5G基站數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．

【詳解】

解：（1）由題意可得：到2020年底，全省5G基站的數量是（萬座）.

答：到2020年底，全省5G基站的數量是6萬座.

（2）設年平均增長率為，由題意可得：

，

解得：，（不符合，舍去）

答：2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率為．

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正确列出一元二次方程是解題的關鍵．

24．受益于國家支持新能源汽車發展和“一帶一路”發展戰略等多重利好因素，我市某汽車零部件生産企業的利潤逐年提高，據統計，2014年利潤為2億元，2016年利潤為2.88億元．

（1）求該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率；

（2）若2017年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業2017年的利潤能否超過3.4億元？

【答案】（1）20%；（2）能.

【解析】

【分析】

（1）設年平均增長率為x，則2015年利潤為2(1+x)億元，則2016年的年利潤為2(1+x)(1+x)，根據2016年利潤為2.88億元列方程即可．

（2）2017年的利潤在2016年的基礎上再增加(1+x)，據此計算即可.

【詳解】

(1)設該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率為x.根據題意，得2(1＋x)2＝2.88，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合題意，舍去)．

答：該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率為20%.

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增長率，那麼2017年該企業年利潤為2.88×(1＋20%)＝3.456(億元)，因為3.456＞3.4，

所以該企業2017年的利潤能超過3.4億元．

【點睛】

此題考查一元二次方程的應用---增長率問題，根據題意尋找相等關系列方程是關鍵，難度不大．

25．閱讀材料：各類方程的解法

求解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x=a的形式．求解二元一次方程組，把它轉化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能産生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想轉化，把未知轉化為已知．

用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通過因式分解把它轉化為x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．

（1）問題：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=，x3=；

（2）拓展：用“轉化”思想求方程的解；

（3）應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=8m，寬AB=3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B，沿草坪邊沿BA，AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然後沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長．

【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.

【解析】

【分析】

（1）因式分解多項式，然後得結論；

（2）兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解，注意驗根；

（3）設AP的長為xm，根據勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解，

【詳解】

解：（1），

，

所以或或

，，；

故答案為，1；

（2），

方程的兩邊平方，得

即

或

，，

當時，，

所以不是原方程的解．

所以方程的解是；

（3）因為四邊形是矩形，

所以，

設，則

因為，

，

兩邊平方，得

整理，得

兩邊平方并整理，得

即

所以．

經檢驗，是方程的解．

答：的長為．

【點睛】

考查了轉化的思想方法，一元二次方程的解法．解無理方程是注意到驗根．解決（3）時，根據勾股定理和繩長，列出方程是關鍵．

26．為積極響應新舊動能轉換.提高公司經濟效益.某科技公司近期研發出一種新型高科技設備，每台設備成本價為30萬元,經過市場調研發現,每台售價為40萬元時,年銷售量為600台;每台售價為45萬元時,年銷售量為550台.假定該設備的年銷售量y(單位:台)和銷售單價(單位:萬元)成一次函數關系.

(1)求年銷售量與銷售單價的函數關系式;

(2)根據相關規定,此設備的銷售單價不得高于70萬元,如果該公司想獲得10000萬元的年利潤.則該設備的銷售單價應是多少萬元?

【答案】（1）；（2）該公可若想獲得10000萬元的年利潤，此設備的銷售單價應是50萬元.

【解析】

【詳解】

分析：（1）根據點的坐标，利用待定系數法即可求出年銷售量y與銷售單價x的函數關系式；

（2）設此設備的銷售單價為x萬元/台，則每台設備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數量為（﹣10x+1000）台，根據總利潤=單台利潤×銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出結論．

詳解：（1）設年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：

，

解得：，

∴年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y=﹣10x+1000．

（2）設此設備的銷售單價為x萬元/台，則每台設備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數量為（﹣10x+1000）台，根據題意得：

（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，

整理，得：x2﹣130x+4000=0，

解得：x1=50，x2=80．

∵此設備的銷售單價不得高于70萬元，∴x=50．

答：該設備的銷售單價應是50萬元/台．

點睛：本題考查了待定系數法求一次函數解析式以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據點的坐标，利用待定系數法求出函數關系式；（2）找準等量關系，正确列出一元二次方程．

27．某地2015年為做好“精準扶貧”，投入資金1280萬元用于異地安置，并規劃投入資金逐年增加，2017年在2015年的基礎上增加投入資金1600萬元．

（1）從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？

（2）在2017年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于500萬元用于優先搬遷租房獎勵，規定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎勵8元，1000戶以後每戶每天補助5元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受到優先搬遷租房獎勵？

【答案】（1）50%；（2）今年該地至少有1900戶享受到優先搬遷租房獎勵．

【解析】

【分析】

（1）設年平均增長率為x，根據“2015年投入資金×（1+增長率）2=2017年投入資金”列出方程，解方程即可；（2）設今年該地有a戶享受到優先搬遷租房獎勵，根據“前1000戶獲得的獎勵總數+1000戶以後獲得的獎勵總和≥500萬”列不等式求解即可．

【詳解】

（1）設該地投入異地安置資金的年平均增長率為x，根據題意，

得：1280（1+x）2=1280+1600，

解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），

答：從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為50%；

（2）設今年該地有a戶享受到優先搬遷租房獎勵，根據題意，

得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，

解得：a≥1900，

答：今年該地至少有1900戶享受到優先搬遷租房獎勵．

考點：一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用.

28．小李在景區銷售一種旅遊紀念品，已知每件進價為6元，當銷售單價定為8元時，每天可以銷售200件．市場調查反映：銷售單價每提高1元，日銷量将會減少10件，物價部門規定：銷售單價不能超過12元，設該紀念品的銷售單價為x（元），日銷量為y（件），日銷售利潤為w（元）．

（1）求y與x的函數關系式．

（2）要使日銷售利潤為720元，銷售單價應定為多少元？

（3）求日銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）的函數關系式，當x為何值時，日銷售利潤最大，并求出最大利潤．

【答案】（1）；（2）10元；（3）x為12時，日銷售利潤最大，最大利潤960元

【解析】

【分析】

（1）根據題意得到函數解析式；

（2）根據題意列方程，解方程即可得到結論；

（3）根據題意得到，根據二次函數的性質即可得到結論．

【詳解】

解：（1）根據題意得，，

故y與x的函數關系式為；

（2）根據題意得，，解得：，（不合題意舍去），

答：要使日銷售利潤為720元，銷售單價應定為10元；

（3）根據題意得，，

，

∴當時，w随x的增大而增大，

當時，，

答：當x為12時，日銷售利潤最大，最大利潤960元．

【點睛】

此題考查了一元二次方程和二次函數的運用，利用總利潤=單個利潤×銷售數量建立函數關系式，進一步利用性質的解決問題，解答時求出二次函數的解析式是關鍵．

三、填空題

29．一個三角形的兩邊長分别為3和6，第三邊長是方程x2-10x+21=0的根，則三角形的周長為______________.

【答案】16

【解析】

【詳解】

分析：首先求出方程的根，再根據三角形三邊關系定理，确定第三邊的長，進而求其周長．

詳解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，

∵3＜第三邊的邊長＜9，

∴第三邊的邊長為7．

∴這個三角形的周長是3+6+7=16．

故答案為16．

點睛：本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關系．已知三角形的兩邊，則第三邊的範圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．

30．為增強學生身體素質，提高學生足球運動競技水平，我市開展“市長杯”足球比賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間賽一場）．現計劃安排21場比賽，應邀請多少個球隊參賽？設邀請x個球隊參賽，根據題意，可列方程為_____．

【答案】x（x﹣1）=21

【解析】

【詳解】

【分析】賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數為x（x﹣1），即可列方程．

【詳解】有x個隊，每個隊都要賽（x﹣1）場，但兩隊之間隻有一場比賽，由題意得：

x（x﹣1）=21，

故答案為x（x﹣1）=21．

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，弄清題意，找準等量關系列出方程是解題的關鍵.