初中數學:一元二次方程常考題講解(精)
一、單選題
1.如圖,某小區計劃在一塊長為32m,寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路,剩餘的空地上種植草坪,使草坪的面積為570m2.若設道路的寬為xm,則下面所列方程正确的是( )
A.(32﹣2x)(20﹣x)=570 B.32x+2×20x=32×20﹣570
C.(32﹣x)(20﹣x)=32×20﹣570 D.32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
【詳解】
六塊矩形空地正好能拼成一個矩形,設道路的寬為xm,根據草坪的面積是570m2,即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570,
故選A.
2.某種植基地2016年蔬菜産量為80噸,預計2018年蔬菜産量達到100噸,求蔬菜産量的年平均增長率,設蔬菜産量的年平均增長率為x,則可列方程為( )
A.80(1+x)2=100 B.100(1﹣x)2=80 C.80(1+2x)=100 D.80(1+x2)=100
【答案】A
【解析】
【分析】
利用增長後的量=增長前的量×(1+增長率),設平均每次增長的百分率為x,根據“從80噸增加到100噸”,即可得出方程.
【詳解】
由題意知,蔬菜産量的年平均增長率為x,
根據2016年蔬菜産量為80噸,則2017年蔬菜産量為80(1+x)噸,
2018年蔬菜産量為80(1+x)(1+x)噸,預計2018年蔬菜産量達到100噸,
即:80(1+x)2=100,
故選A.
【點睛】
本題考查了一元二次方程的應用(增長率問題).解題的關鍵在于理清題目的含義,找到2017年和2018年的産量的代數式,根據條件找準等量關系式,列出方程.
3.在一次酒會上,每兩人都隻碰一次杯,如果一共碰杯55次,則參加酒會的人數為( )
A.9人 B.10人 C.11人 D.12人
【答案】C
【解析】
【分析】
設參加酒會的人數為x人,根據每兩人都隻碰一次杯,如果一共碰杯55次,列出一元二次方程,解之即可得出答案.
【詳解】
設參加酒會的人數為x人,依題可得:
x(x-1)=55,
化簡得:x2-x-110=0,
解得:x1=11,x2=-10(舍去),
故答案為C.
【點睛】
考查了一元二次方程的應用,解題的關鍵是根據題中的等量關系列出方程.
4.某鋼鐵廠一月份生産鋼鐵560噸,從二月份起,由于改進操作技術,使得第一季度共生産鋼鐵1850噸,問二、三月份平均每月的增長率是多少?若設二、三月份平均每月的增長率為x,則可得方程( )
A. B.
C.
D.【答案】D
【解析】
【詳解】
第一個月是560,第二個月是560(1+x),第三月是560(1+x)2
,所以第一季度總計560+560(1+x)+560(1+x)2=1850,選D.
5.李大爺要圍成一個矩形菜園,菜園的一邊利用足夠長的牆,用籬笆圍成的另外三邊總長應恰好為24米.要圍成的菜園是如圖所示的矩形ABCD.設BC邊的長為x米,AB邊的長為y米,則y與x之間的函數關系式是( )
A.y=-2x+24(0
C.y=2x-24(0
【答案】B
【解析】
【詳解】
由實際問題抽象出函數關系式關鍵是找出等量關系,本題等量關系為“用籬笆圍成的另外三邊總長應恰好為24米”,結合BC邊的長為x米,AB邊的長為y米,可得BC+2AB=24,即x+2y=24,即
y=-
x+12.因為菜園的一邊是足夠長的牆,所以06.某校“研學”活動小組在一次野外實踐時,發現一種植物的主幹長出若幹數目的支幹,每個支幹又長出同樣數目的小分支,主幹、支幹和小分支的總數是
,則這種植物每個支幹長出的小分支個數是( )A.
B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】
設這種植物每個支幹長出x個小分支,根據主幹、支幹和小分支的總數是43,即可得出關于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結論
【詳解】
設這種植物每個支幹長出
個小分支,依題意,得:
,解得:
(舍去),.故選C.
【點睛】
此題考查一元二次方程的應用,解題關鍵在于列出方程
7.揚帆中學有一塊長
,寬的矩形空地,計劃在這塊空地上劃出四分之一的區域種花,小禹同學設計方案如圖所示,求花帶的寬度.設花帶的寬度為,則可列方程為( )A.
B.C.
D.【答案】D
【解析】
【分析】
根據空白區域的面積矩形空地的面積可得.
【詳解】
設花帶的寬度為
,則可列方程為,故選D.
【點睛】
本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程,解題的關鍵是根據圖形得出面積的相等關系.
8.如圖,學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形.為便于管理,要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道,使種植面積為600平方米,則小道的寬為多少米?若設小道的寬為
米,則根據題意,列方程為()A.
B.C.
D.【答案】C
【解析】
【分析】
把陰影部分分别移到矩形的上邊和左邊,可得種植面積為一個矩形,根據種植的面積為600列出方程即可.
【詳解】
解:如圖,設小道的寬為
,則種植部分的長為
,寬為由題意得:
.故選C.
【點睛】
考查一元二次方程的應用;利用平移的知識得到種植面積的形狀是解決本題的突破點;得到種植面積的長與寬是解決本題的關鍵.
9.在某籃球邀請賽中,參賽的每兩個隊之間都要比賽一場,共比賽36場,設有x個隊參賽,根據題意,可列方程為()
A. B.
C.
D.【答案】A
【解析】
【分析】
共有x個隊參加比賽,則每隊參加(x-1)場比賽,但2隊之間隻有1場比賽,根據共安排36場比賽,列方程即可.
【詳解】
解:設有x個隊參賽,根據題意,可列方程為:
x(x﹣1)=36,故選A.
【點睛】
此題考查由實際問題抽象出一元二次方程,解題關鍵在于得到比賽總場數的等量關系.
10.某超市一月份的營業額為200萬元,已知第一季度的總營業額共1000萬元,如果平均每月增長率為x,則由題意列方程應為( )
A.200(1+x)2=1000
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
【答案】D
【解析】
【分析】
根據增長率問題公式即可解決此題,二月為200(1+x),三月為200(1+x)2,三個月相加即得第一季度的營業額.
【詳解】
解:∵一月份的營業額為200萬元,平均每月增長率為x,
∴二月份的營業額為200×(1+x),
∴三月份的營業額為200×(1+x)×(1+x)=200×(1+x)2,
∴可列方程為200+200×(1+x)+200×(1+x)2=1000,
即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000.
故選D.
【點睛】
此題考察增長率問題類一元二次方程的應用,注意:第一季度指一、二、三月的總和.
二、解答題
11.一商店銷售某種商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利,該店采取了降價措施,在每件盈利不少于25元的前提下,經過一段時間銷售,發現銷售單價每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降價3元,則平均每天銷售數量為________件;
(2)當每件商品降價多少元時,該商店每天銷售利潤為1200元?
【答案】(1)26;(2)每件商品降價10元時,該商店每天銷售利潤為1200元.
【解析】
【詳解】
分析:(1)根據銷售單價每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降價3元,則平均每天可多售出2×3=6件,即平均每天銷售數量為20+6=26件;
(2)利用商品平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種商品利潤列出方程解答即可.
詳解:(1)若降價3元,則平均每天銷售數量為20+2×3=26件.
(2)設每件商品應降價x元時,該商店每天銷售利潤為1200元.
根據題意,得 (40-x)(20+2x)=1200,
整理,得x2-30x+200=0,
解得:x1=10,x2=20.
∵要求每件盈利不少于25元,
∴x2=20應舍去,
∴x=10.
答:每件商品應降價10元時,該商店每天銷售利潤為1200元.
點睛:此題主要考查了一元二次方程的應用,利用基本數量關系:平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關鍵.
12.某公司今年1月份的生産成本是400萬元,由于改進技術,生産成本逐月下降,3月份的生産成本是361萬元.假設該公司2、3、4月每個月生産成本的下降率都相同.
(1)求每個月生産成本的下降率;
(2)請你預測4月份該公司的生産成本.
【答案】(1)每個月生産成本的下降率為5%;(2)預測4月份該公司的生産成本為342.95萬元.
【解析】
【分析】
(1)設每個月生産成本的下降率為x,根據2月份、3月份的生産成本,即可得出關于x的一元二次方程,解之取其較小值即可得出結論;
(2)由4月份該公司的生産成本=3月份該公司的生産成本×(1﹣下降率),即可得出結論.
【詳解】
(1)設每個月生産成本的下降率為x,
根據題意得:400(1﹣x)2=361,
解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合題意,舍去).
答:每個月生産成本的下降率為5%;
(2)361×(1﹣5%)=342.95(萬元),
答:預測4月份該公司的生産成本為342.95萬元.
【點睛】
本題考查了一元二次方程的應用,解題的關鍵是:(1)找準等量關系,正确列出一元二次方程;(2)根據數量關系,列式計算.
13.如圖,一農戶要建一個矩形豬舍,豬舍的一邊利用長為12m的住房牆,另外三邊用25m長的建築材料圍成,為方便進出,在垂直于住房牆的一邊留一個1m寬的門,所圍矩形豬舍的長、寬分别為多少時,豬舍面積為80m2?
【答案】10,8.
【解析】
【詳解】
試題分析:可以設矩形豬舍垂直于住房牆一邊長為
m,可以得出平行于牆的一邊的長為m,由題意得出方程 求出邊長的值.試題解析:設矩形豬舍垂直于住房牆一邊長為
m,可以得出平行于牆的 一邊的長為m,由題意得 化簡,得,解得:當時,(舍去),
當
時,,答:所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m.
考點:一元二次方程的應用題.
14.山西特産專賣店銷售核桃,其進價為每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,後來經過市場調查發現,單價每降低2元,則平均每天的銷售可增加20千克,若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元,請回答:
(1)每千克核桃應降價多少元?
(2)在平均每天獲利不變的情況下,為盡可能讓利于顧客,赢得市場,該店應按原售價的幾折出售?
【答案】(1)4元或6元;(2)九折.
【解析】
【詳解】
解:(1)設每千克核桃應降價x元.
根據題意,得(60﹣x﹣40)(100+
×20)=2240,化簡,得 x2﹣10x+24=0,解得x1=4,x2=6.
答:每千克核桃應降價4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降價4元或6元.
∵要盡可能讓利于顧客,∴每千克核桃應降價6元.
此時,售價為:60﹣6=54(元),.
答:該店應按原售價的九折出售.
15.在水果銷售旺季,某水果店購進一優質水果,進價為20元/千克,售價不低于20元/千克,且不超過32元/千克,根據銷售情況,發現該水果一天的銷售量y(千克)與該天的售價x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數關系.
銷售量y(千克) |
… |
34.8 |
32 |
29.6 |
28 |
… |
售價x(元/千克) |
… |
22.6 |
24 |
25.2 |
26 |
… |
(1)某天這種水果的售價為23.5元/千克,求當天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利150元,那麼該天水果的售價為多少元?
【答案】(1)當天該水果的銷售量為33千克;(2)如果某天銷售這種水果獲利150元,該天水果的售價為25元.
【解析】
【分析】
(1)根據表格内的數據,利用待定系數法可求出y與x之間的函數關系式,再代入x=23.5即可求出結論;
(2)根據總利潤
每千克利潤銷售數量,即可得出關于x的一元二次方程,解之取其較小值即可得出結論.【詳解】
(1)設y與x之間的函數關系式為y=kx+b,
将(22.6,34.8)、(24,32)代入y=kx+b,
,解得:,∴y與x之間的函數關系式為y=﹣2x+80.
當x=23.5時,y=﹣2x+80=33.
答:當天該水果的銷售量為33千克.
(2)根據題意得:(x﹣20)(﹣2x+80)=150,
解得:x1=35,x2=25.
∵20≤x≤32,
∴x=25.
答:如果某天銷售這種水果獲利150元,那麼該天水果的售價為25元.
【點睛】
本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數的應用,解題的關鍵是:(1)根據表格内的數據,利用待定系數法求出一次函數關系式;(2)找準等量關系,正确列出一元二次方程.
16.“互聯網+”時代,網上購物備受消費者青睐.某網店專售一款休閑褲,其成本為每條40元,當售價為每條80元時,每月可銷售100條.為了吸引更多顧客,該網店采取降價措施.據市場調查反映:銷售單價每降1元,則每月可多銷售5條.設每條褲子的售價為
元(為正整數),每月的銷售量為條.(1)直接寫出
與的函數關系式;(2)設該網店每月獲得的利潤為
元,當銷售單價降低多少元時,每月獲得的利潤最大,最大利潤是多少?(3)該網店店主熱心公益事業,決定每月從利潤中捐出200元資助貧困學生.為了保證捐款後每月利潤不低于4220元,且讓消費者得到最大的實惠,該如何确定休閑褲的銷售單價?
【答案】(1)
;(2)當降價10元時,每月獲得最大利潤為4500元;(3)當銷售單價定為66元時,即符合網店要求,又能讓顧客得到最大實惠.【解析】
【分析】
(1)直接利用銷售單價每降1元,則每月可多銷售5條得出
與的函數關系式;(2)利用銷量×每件利潤=總利潤進而得出函數關系式求出最值;
(3)利用總利潤
,求出的值,進而得出答案.【詳解】
解:(1)由題意可得:
整理得;(2)由題意,得:
∵
,∴
有最大值,即當
時,,∴應降價
(元)答:當降價10元時,每月獲得最大利潤為4500元;
(3)由題意,得:
解之,得:
,,∵抛物線開口向下,對稱軸為直線
,∴當時,符合該網店要求
而為了讓顧客得到最大實惠,故
,∴當銷售單價定為66元時,即符合網店要求,又能讓顧客得到最大實惠.
【點睛】
此題主要考查了二次函數的應用,我們首先要吃透題意,确定變量,建立函數模型,然後結合實際選擇最優方案,正确得出
與之間的函數關系式是解題關鍵.17.水果店張阿姨以每斤2元的價格購進某種水果若幹斤,然後以每斤4元的價格出售,每天可售出100斤,通過調查發現,這種水果每斤的售價每降低0.1元,每天可多售出20斤,為保證每天至少售出260斤,張阿姨決定降價銷售.
(1)若将這種水果每斤的售價降低x元,則每天的銷售量是斤(用含x的代數式表示);
(2)銷售這種水果要想每天盈利300元,張阿姨需将每斤的售價降低多少元?
【答案】(1)100+200x;(2)1.
【解析】
【詳解】
試題分析:(1)銷售量=原來銷售量﹣下降銷售量,列式即可得到結論;
(2)根據銷售量×每斤利潤=總利潤列出方程求解即可得到結論.
試題解析:(1)将這種水果每斤的售價降低x元,則每天的銷售量是100+
×20=100+200x斤;(2)根據題意得:
,解得:x=或x=1,∵每天至少售出260斤,∴100+200x≥260,∴x≥0.8,∴x=1.答:張阿姨需将每斤的售價降低1元.
考點:1.一元二次方程的應用;2.銷售問題;3.綜合題.
18.如圖,要利用一面牆(牆長為25米)建羊圈,用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈,求羊圈的邊長AB,BC各為多少米?
【答案】羊圈的邊長AB,BC分别是20米、20米.
【解析】
【詳解】
試題分析:設AB的長度為x米,則BC的長度為(100﹣4x)米;然後根據矩形的面積公式列出方程.
試題解析:設AB的長度為x米,則BC的長度為(100﹣4x)米. 根據題意得 (100﹣4x)x=400,
解得x1=20,x2=5. 則100﹣4x=20或100﹣4x=80. ∵80>25, ∴x2=5舍去. 即AB=20,BC=20
考點:一元二次方程的應用.
19.商場某種商品平均每天可銷售30件,每件盈利50元,為了盡快減少庫存,商場決定采取适當的降價措施.經調查發現,每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件.
(1)若某天該商品每件降價3元,當天可獲利多少元?
(2)設每件商品降價x元,則商場日銷售量增加____件,每件商品,盈利______元(用含x的代數式表示);
(3)在上述銷售正常情況下,每件商品降價多少元時,商場日盈利可達到2000元?
【答案】(1)若某天該商品每件降價3元,當天可獲利1692元;
(2)2x;50﹣x.
(3)每件商品降價25元時,商場日盈利可達到2000元.
【解析】
【分析】
(1)根據“盈利=單件利潤×銷售數量”即可得出結論;
(2)根據“每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件”結合每件商品降價x元,即可找出日銷售量增加的件數,再根據原來沒見盈利50元,即可得出降價後的每件盈利額;
(3)根據“盈利=單件利潤×銷售數量”即可列出關于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再根據盡快減少庫存即可确定x的值.
【詳解】
(1)當天盈利:(50-3)×(30+2×3)=1692(元).
答:若某天該商品每件降價3元,當天可獲利1692元.
(2)∵每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件,
∴設每件商品降價x元,則商場日銷售量增加2x件,每件商品,盈利(50-x)元.
故答案為2x;50-x.
(3)根據題意,得:(50-x)×(30+2x)=2000,
整理,得:x2-35x+250=0,
解得:x1=10,x2=25,
∵商城要盡快減少庫存,
∴x=25.
答:每件商品降價25元時,商場日盈利可達到2000元.
【點睛】
考查了一元二次方程的應用,解題的關鍵是根據題意找出數量關系列出一元二次方程(或算式).
20.為響應“把中國人的飯碗牢牢端在自己手中”的号召,确保糧食安全,優選品種,提高産量,某農業科技小組對A、B兩個玉米品種進行實驗種植對比研究.去年A、B兩個品種各種植了10畝.收獲後A、B兩個品種的售價均為2.4元/kg,且B品種的平均畝産量比A品種高100千克,A、B兩個品種全部售出後總收入為21600元.
(1)求A、B兩個品種去年平均畝産量分别是多少千克?
(2)今年,科技小組優化了玉米的種植方法,在保持去年種植面積不變的情況下,預計A、B兩個品種平均畝産量将在去年的基礎上分别增加a%和2a%.由于B品種深受市場歡迎,預計每千克售價将在去年的基礎上上漲a%,而A品種的售價保持不變,A、B兩個品種全部售出後總收入将增加
,求a的值.【答案】(1)A品種去年平均畝産量是400、B品種去年平均畝産量是500千克;(2)10.
【解析】
【分析】
(1)設A、B兩個品種去年平均畝産量分别是x、y千克,根據題意列出方程組,解方程組即可得到答案;
(2)根據題意分别表示A品種、B品種今年的收入,利用總收入等于A品種、B品種今年的收入之和,列出一元二次方程求解即可得到答案.
【詳解】
(1)設A、B兩個品種去年平均畝産量分别是x、y千克,由題意得
,解得
.答:A.B兩個品種去年平均畝産量分别是400、500千克
(2)根據題意得:
.令a%=m,則方程化為:.
整理得10m2-m=0,
解得:m1=0(不合題意,舍去),m2=0.1
所以a%=0.1,所以a=10,
答:a的值為10.
【點睛】
本題考查的是二元一次方程組的應用,一元二次方程的應用,掌握列方程或方程組解應用題的方法與步驟是解題的關鍵.
21.我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉,其進價為每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,後來經過市場調查發現,單價每降低 10 元,則平均每周的銷售量可增加 40 千克,若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利 41600 元,請回答:
(1)每千克茶葉應降價多少元?
(2)在平均每周獲利不變的情況下,為盡可能讓利于顧客,赢得市場,該店應按原售價的 幾折出售?
【答案】(1)每千克茶葉應降價30元或80元;(2)該店應按原售價的8折出售.
【解析】
【分析】
(1)設每千克茶葉應降價x元,利用銷售量×每件利潤=41600元列出方程求解即可;
(2)為了讓利于顧客因此應下降價80元,求出此時的銷售單價即可确定幾折.
【詳解】
(1)設每千克茶葉應降價x元.根據題意,得:
(400﹣x﹣240)(200+
×40)=41600.化簡,得:x2﹣10x+240=0.
解得:x1=30,x2=80.
答:每千克茶葉應降價30元或80元.
(2)由(1)可知每千克茶葉可降價30元或80元.因為要盡可能讓利于顧客,所以每千克茶葉某應降價80元.
此時,售價為:400﹣80=320(元),
.答:該店應按原售價的8折出售.
【點睛】
本題考查了一元二次方程的應用,解題的關鍵是根據題目中的等量關系列出方程.
22.如圖,在長方形ABCD中,邊AB、BC的長(AB<BC)是方程x2-7x+12=0的兩個根.點P從點A出發,以每秒1個單位的速度沿△ABC邊A→B→C→A的方向運動,運動時間為t(秒).
(1)求AB與BC的長;
(2)當點P運動到邊BC上時,試求出使AP長為
時運動時間t的值;(3)當點P運動到邊AC上時,是否存在點P,使△CDP是等腰三角形?若存在,請求出運動時間t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) AB=3,BC=4;(2) t=4;(3) t為10秒或9.5秒或
秒時,△CDP是等腰三角形.【解析】
【詳解】
試題分析:(1)解一元二次方程即可求得邊長;
(2)結合圖形,利用勾股定理求解即可;
(3)根據題意,分為:PC=PD,PD=PC,PD=CD,三種情況分别可求解.
試題解析:(1)∵x2-7x+12=(x-3)(x-4)=0
∴
=3或=4 .則AB=3,BC=4
(2)由題意得
∴,
(舍去)則t=4時,AP=
.(3)存在點P,使△CDP是等腰三角形.
①當PC=PD=3時, t= =10(秒).
②當PD=PC(即P為對角線AC中點)時,AB=3,BC=4.
∴AC=
=5,CP1= AC=2.5∴t=
=9.5(秒)③當PD=CD=3時,作DQ⊥AC于Q.
,∴PC=2PQ=
∴
(秒)可知當t為10秒或9.5秒或
秒時,△CDP是等腰三角形.23.随着粵港澳大灣區建設的加速推進,廣東省正加速布局以5G等為代表的戰略性新興産業,據統計,目前廣東5G基站的數量約1.5萬座,計劃到2020年底,全省5G基站數是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站數量将達到17.34萬座.
(1)計劃到2020年底,全省5G基站的數量是多少萬座?;
(2)按照計劃,求2020年底到2022年底,全省5G基站數量的年平均增長率.
【答案】(1)6萬座;(2)
.【解析】
【分析】
(1)2020年全省5G基站的數量=目前廣東5G基站的數量×4,即可求出結論;
(2)設2020年底到2022年底,全省5G基站數量的年平均增長率為x,根據2020年底及2022年底全省5G基站數量,即可得出關于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結論.
【詳解】
解:(1)由題意可得:到2020年底,全省5G基站的數量是(萬座).
答:到2020年底,全省5G基站的數量是6萬座.
(2)設年平均增長率為
,由題意可得: ,解得:,(不符合,舍去)
答:2020年底到2022年底,全省5G基站數量的年平均增長率為
.【點睛】
本題考查了一元二次方程的應用,找準等量關系,正确列出一元二次方程是解題的關鍵.
24.受益于國家支持新能源汽車發展和“一帶一路”發展戰略等多重利好因素,我市某汽車零部件生産企業的利潤逐年提高,據統計,2014年利潤為2億元,2016年利潤為2.88億元.
(1)求該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率;
(2)若2017年保持前兩年利潤的年平均增長率不變,該企業2017年的利潤能否超過3.4億元?
【答案】(1)20%;(2)能.
【解析】
【分析】
(1)設年平均增長率為x,則2015年利潤為2(1+x)億元,則2016年的年利潤為2(1+x)(1+x),根據2016年利潤為2.88億元列方程即可.
(2)2017年的利潤在2016年的基礎上再增加(1+x),據此計算即可.
【詳解】
(1)設該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率為x.根據題意,得2(1+x)2=2.88,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去).
答:該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率為20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增長率,那麼2017年該企業年利潤為2.88×(1+20%)=3.456(億元),因為3.456>3.4,
所以該企業2017年的利潤能超過3.4億元.
【點睛】
此題考查一元二次方程的應用---增長率問題,根據題意尋找相等關系列方程是關鍵,難度不大.
25.閱讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據等式的基本性質,把方程轉化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉化為整式方程來解,由于“去分母”可能産生增根,所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個共同的基本數學思想
轉化,把未知轉化為已知.用“轉化”的數學思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通過因式分解把它轉化為x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)問題:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=,x3=;
(2)拓展:用“轉化”思想求方程
的解;(3)應用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B,沿草坪邊沿BA,AD走到點P處,把長繩PB段拉直并固定在點P,然後沿草坪邊沿PD、DC走到點C處,把長繩剩下的一段拉直,長繩的另一端恰好落在點C.求AP的長.
【答案】(1)-2,1;(2)x=3;(3)4m.
【解析】
【分析】
(1)因式分解多項式,然後得結論;
(2)兩邊平方,把無理方程轉化為整式方程,求解,注意驗根;
(3)設AP的長為xm,根據勾股定理和BP+CP=10,可列出方程,由于方程含有根号,兩邊平方,把無理方程轉化為整式方程,求解,
【詳解】
解:(1)
, ,所以或
或 ,,;故答案為
,1;(2)
,方程的兩邊平方,得
即
或
,,當時,
,所以不是原方程的解.
所以方程
的解是;(3)因為四邊形
是矩形,所以,
設
,則因為
, ,兩邊平方,得
整理,得
兩邊平方并整理,得
即
所以
.經檢驗,
是方程的解.答:
的長為.【點睛】
考查了轉化的思想方法,一元二次方程的解法.解無理方程是注意到驗根.解決(3)時,根據勾股定理和繩長,列出方程是關鍵.
26.為積極響應新舊動能轉換.提高公司經濟效益.某科技公司近期研發出一種新型高科技設備,每台設備成本價為30萬元,經過市場調研發現,每台售價為40萬元時,年銷售量為600台;每台售價為45萬元時,年銷售量為550台.假定該設備的年銷售量y(單位:台)和銷售單價
(單位:萬元)成一次函數關系.(1)求年銷售量
與銷售單價的函數關系式;(2)根據相關規定,此設備的銷售單價不得高于70萬元,如果該公司想獲得10000萬元的年利潤.則該設備的銷售單價應是多少萬元?
【答案】(1)
;(2)該公可若想獲得10000萬元的年利潤,此設備的銷售單價應是50萬元.【解析】
【詳解】
分析:(1)根據點的坐标,利用待定系數法即可求出年銷售量y與銷售單價x的函數關系式;
(2)設此設備的銷售單價為x萬元/台,則每台設備的利潤為(x﹣30)萬元,銷售數量為(﹣10x+1000)台,根據總利潤=單台利潤×銷售數量,即可得出關于x的一元二次方程,解之取其小于70的值即可得出結論.
詳解:(1)設年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y=kx+b(k≠0),将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得:
,解得:
,∴年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y=﹣10x+1000.
(2)設此設備的銷售單價為x萬元/台,則每台設備的利潤為(x﹣30)萬元,銷售數量為(﹣10x+1000)台,根據題意得:
(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000,
整理,得:x2﹣130x+4000=0,
解得:x1=50,x2=80.
∵此設備的銷售單價不得高于70萬元,∴x=50.
答:該設備的銷售單價應是50萬元/台.
點睛:本題考查了待定系數法求一次函數解析式以及一元二次方程的應用,解題的關鍵是:(1)根據點的坐标,利用待定系數法求出函數關系式;(2)找準等量關系,正确列出一元二次方程.
27.某地2015年為做好“精準扶貧”,投入資金1280萬元用于異地安置,并規劃投入資金逐年增加,2017年在2015年的基礎上增加投入資金1600萬元.
(1)從2015年到2017年,該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少?
(2)在2017年異地安置的具體實施中,該地計劃投入資金不低于500萬元用于優先搬遷租房獎勵,規定前1000戶(含第1000戶)每戶每天獎勵8元,1000戶以後每戶每天補助5元,按租房400天計算,試求今年該地至少有多少戶享受到優先搬遷租房獎勵?
【答案】(1)50%;(2)今年該地至少有1900戶享受到優先搬遷租房獎勵.
【解析】
【分析】
(1)設年平均增長率為x,根據“2015年投入資金×(1+增長率)2=2017年投入資金”列出方程,解方程即可;(2)設今年該地有a戶享受到優先搬遷租房獎勵,根據“前1000戶獲得的獎勵總數+1000戶以後獲得的獎勵總和≥500萬”列不等式求解即可.
【詳解】
(1)設該地投入異地安置資金的年平均增長率為x,根據題意,
得:1280(1+x)2=1280+1600,
解得:x=0.5或x=﹣2.5(舍),
答:從2015年到2017年,該地投入異地安置資金的年平均增長率為50%;
(2)設今年該地有a戶享受到優先搬遷租房獎勵,根據題意,
得:1000×8×400+(a﹣1000)×5×400≥5000000,
解得:a≥1900,
答:今年該地至少有1900戶享受到優先搬遷租房獎勵.
考點:一元二次方程的應用;一元一次不等式的應用.
28.小李在景區銷售一種旅遊紀念品,已知每件進價為6元,當銷售單價定為8元時,每天可以銷售200件.市場調查反映:銷售單價每提高1元,日銷量将會減少10件,物價部門規定:銷售單價不能超過12元,設該紀念品的銷售單價為x(元),日銷量為y(件),日銷售利潤為w(元).
(1)求y與x的函數關系式.
(2)要使日銷售利潤為720元,銷售單價應定為多少元?
(3)求日銷售利潤w(元)與銷售單價x(元)的函數關系式,當x為何值時,日銷售利潤最大,并求出最大利潤.
【答案】(1)
;(2)10元;(3)x為12時,日銷售利潤最大,最大利潤960元【解析】
【分析】
(1)根據題意得到函數解析式;
(2)根據題意列方程,解方程即可得到結論;
(3)根據題意得到
,根據二次函數的性質即可得到結論.【詳解】
解:(1)根據題意得,
,故y與x的函數關系式為
;(2)根據題意得,
,解得:,(不合題意舍去),答:要使日銷售利潤為720元,銷售單價應定為10元;
(3)根據題意得,
, ,∴當時,w随x的增大而增大,
當時,
,答:當x為12時,日銷售利潤最大,最大利潤960元.
【點睛】
此題考查了一元二次方程和二次函數的運用,利用總利潤=單個利潤×銷售數量建立函數關系式,進一步利用性質的解決問題,解答時求出二次函數的解析式是關鍵.
三、填空題
29.一個三角形的兩邊長分别為3和6,第三邊長是方程x2-10x+21=0的根,則三角形的周長為______________.
【答案】16
【解析】
【詳解】
分析:首先求出方程的根,再根據三角形三邊關系定理,确定第三邊的長,進而求其周長.
詳解:解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7,
∵3<第三邊的邊長<9,
∴第三邊的邊長為7.
∴這個三角形的周長是3+6+7=16.
故答案為16.
點睛:本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關系.已知三角形的兩邊,則第三邊的範圍是:大于已知的兩邊的差,而小于兩邊的和.
30.為增強學生身體素質,提高學生足球運動競技水平,我市開展“市長杯”足球比賽,賽制為單循環形式(每兩隊之間賽一場).現計劃安排21場比賽,應邀請多少個球隊參賽?設邀請x個球隊參賽,根據題意,可列方程為_____.
【答案】x(x﹣1)=21
【解析】
【詳解】
【分析】賽制為單循環形式(每兩隊之間都賽一場),x個球隊比賽總場數為x(x﹣1),即可列方程.
【詳解】有x個隊,每個隊都要賽(x﹣1)場,但兩隊之間隻有一場比賽,由題意得:
x(x﹣1)=21,
故答案為x(x﹣1)=21.
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用,弄清題意,找準等量關系列出方程是解題的關鍵.
有話要說...