專題8《“PA+k·PB”型的最值問題》
破解策略
“PA+k·PB”型的最值問題,當k=1時通常為軸對稱之最短路徑問題,而當k>0時,若以常規的軸對稱的方式解決,則無法進行,因此必須轉換思路.
1. 當點P在直線上
如圖,直線BM,BN交于點B,P為BM上的動點,點A在射線BM,BN同側,已知sin∠MBN=k.
過點A作AC⊥BN于點C,交BM于點P,此時PA+k·PB取最小值,最小值即為AC的長.
證明如圖,在BM上任取一點Q,連結AQ,作QD⊥BN于點D.
由sin∠MBN=k,可得QD= k·QB.
所以QA+k·QB=QA+QD≥AC,即得證.
2. 當點P在圓上
如圖,⊙O的半徑為r,點A,B都在⊙O外,P為⊙O上的動點,已知r=k·OB.
在OB上取一點C,使得OC= k·r,連結AC交⊙O于點P,此時PA+k·PB取最小值,最小值即為AC的長.
證明如圖,在⊙O上任取一點Q,連結AQ,BQ,連結CQ,OQ.
則OC= k·OQ,OQ= k·OB.
而∠COQ=∠QOB,所以△COQ∽△QOB,
所以QC= k·QB.
所以QA+ k·QB=QA+QC≥AC,即得證.
例題講解
例1在平面直角坐标系xOy中,抛物線y=x2-2mx+m2+m的頂點為C.直線y=x+2與抛物線交于A、B兩點,點A在抛物線的對稱軸左側.抛物線的對稱軸與直線AB交于點M,作點B關于直線MC的對稱點B'.以M為圓心,MC為半徑的圓上存在一點Q,使得QB′+ QB的值最小,則這個最小值為多少?
解:∵y=x2-2mx+m2+m=(x-m)2+m
∴頂點C的坐标為(m,m),從而點M的坐标為(m,m+2)
連結MQ,則MQ=MC=2
聯立方程組
可得點A(m-1,m+1),B(m+2,m+4)
∴BM=
,即MQ= MB
取MB的中點N,則MN= MB= MQ
連結QN,易證△QMB≌△NMQ
∴QN= QB
連結B′N,則QB′+QB=QB′+QN≥B′N
易得直線AB與y軸的夾角為45°,所以∠AMC=45°
連結B′M,則∠B′MB=2∠AMC=90°
在RtB′MN中,
即QB′+ QB的最小值為
進階訓練
1.如圖在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,O經過點C,且圓的直徑AB在線段AE上,設D是線段AC上任意一點(不含端點),連接OD,當CD+OD的最小值為6時,求⊙O的直徑AB的長.
2.如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,以點B為圓心作B與AC相切,P為B上任意一點,求PA+PC的最小值.
有話要說...