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中考數學壓軸題破解策略專題8

專題8《“PA＋k·PB”型的最值問題》

破解策略

“PA＋k·PB”型的最值問題，當k＝1時通常為軸對稱之最短路徑問題，而當k＞0時，若以常規的軸對稱的方式解決，則無法進行，因此必須轉換思路．

1． 當點P在直線上

如圖，直線BM，BN交于點B，P為BM上的動點，點A在射線BM，BN同側，已知sin∠MBN＝k．

過點A作AC⊥BN于點C，交BM于點P，此時PA＋k·PB取最小值，最小值即為AC的長．

證明如圖，在BM上任取一點Q，連結AQ，作QD⊥BN于點D．

由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得證．

2． 當點P在圓上

如圖，⊙O的半徑為r，點A，B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r＝k·OB．

在OB上取一點C，使得OC＝ k·r，連結AC交⊙O于點P，此時PA＋k·PB取最小值，最小值即為AC的長．

證明如圖，在⊙O上任取一點Q，連結AQ，BQ，連結CQ，OQ．

則OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．

而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，

所以QC＝ k·QB．

所以QA＋ k·QB＝QA＋QC≥AC，即得證．

例題講解

例1在平面直角坐标系xOy中，抛物線y＝x2－2mx＋m2＋m的頂點為C．直線y＝x＋2與抛物線交于A、B兩點，點A在抛物線的對稱軸左側．抛物線的對稱軸與直線AB交于點M，作點B關于直線MC的對稱點B'．以M為圓心，MC為半徑的圓上存在一點Q，使得QB′＋ QB的值最小，則這個最小值為多少？

解：∵y＝x2－2mx＋m2＋m＝（x－m）2＋m

∴頂點C的坐标為（m，m），從而點M的坐标為（m，m＋2）

連結MQ，則MQ＝MC＝2

聯立方程組

可得點A（m－1，m＋1），B（m＋2，m＋4）

∴BM＝

，即MQ＝ MB

取MB的中點N，則MN＝ MB＝ MQ

連結QN，易證△QMB≌△NMQ

∴QN＝ QB

連結B′N，則QB′＋QB＝QB′＋QN≥B′N

易得直線AB與y軸的夾角為45°，所以∠AMC＝45°

連結B′M，則∠B′MB＝2∠AMC＝90°

在RtB′MN中，

即QB′＋ QB的最小值為

進階訓練

1.如圖在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上，設D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD＋OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．

2．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，以點B為圓心作B與AC相切，P為B上任意一點,求PA＋PC的最小值．

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