三角形三條高線共點的十種證明
本内容适合初中
衆所周知，任意三角形ABC的三條中線、垂直平分線、内角平分線和高線都分别交于一點。一般稱為△ABC的重心、外心、内心和垂心。當然這個是需要證明的，而且相對而言，三條高線交于一點(垂心)的證明是最難的。
本文拟對本人見到的和想到的十種證明方法做一整理，證明方法的順序基本是按常見程度來排序的。
證明三線共點，本質上隻有一種辦法——同一法：即假設兩個線交于一點，證明第三條線過此點即可。
具體而言，同一法通常又有兩種思路。假設兩條高線CF、BE交于一點H，要麼證明AH⊥CB，要麼設高線AD交CH于H’,證明H,H’重合，即FH=FH’即可。
當然，另外一種思路是将此三線共點問題轉化為其他的容易解決的三線共點問題來證明，即以其他的三線共點結論作為引理來證明本結論。追根溯源，引理中的三線共點還是通過同一法來證明的。
思路一：
設兩條高線CF、BE交于一點H，可以得到兩組四點共圓，然後利用四點共圓的判定和性質，通過倒角證明AH⊥CB即可。
證明一：
設高線BE,CF交于H，
則由垂直得A,F,H,E共圓，
且B,F,E,C共圓。
則∠HAE=∠HFE=∠HBD,
則AH⊥BC,
即三條高線交于一點H。
思路二：
利用三角形的三邊垂直平分線交于一點（三角形的外心，這個很容易證明）。通過過三角形三個頂點作對邊平行線得到大三角形，将本問題轉化為三角形的三邊垂直平分線交于一點來證明。
證明二：
過A,B,C分别作BC,AC,AB平行線交于A',B',C'.
則AC’BC,B’ABC為平行四邊形，
故AC'=BC=AB'，
則AD為B'C'中垂線，
同理BE為A'C'中垂線，
CF為A'B'中垂線，
由三角形三邊垂直平分線交于一點，
故AD,BE,CF交于△A'B'C'的外心H，
即△ABC的三條高線交于H。
思路三：
利用四邊形對角線互相垂直的充要條件為對邊平方和相等（一般稱為“定差幂線”定理，也稱為平方差公式，此四邊形可以是凸四邊形也可以是凹四邊形，證明不難，利用勾股定理即可證明）。由兩個垂直得到兩個等式，聯合得到第三個等式證明垂直即可。
證明三：
設高線BE,CF交于H，
由垂直得HB^2-HA^2=CB^2-CA^2，
及HC^2-HA^2=CB^2-BA^2，
相減得HB^2-HC^2=AB^2-CA^2，
由定差幂線定理知AH⊥BC，
即△ABC的三條高線交于H。
思路四：
思路五：
利用根心定理（三個圓的根軸交于一點或者兩兩平行）證明：由垂直得到三組共圓，由根心定理得三條高線共點。
證明五：
由垂直得BCEF共圓,
同理CDFA,AEDB共圓,
而三條高線為此三圓的三條根軸，
根據根心定理知三條高線交于一點H。
思路六：
利用向量證明：利用兩個向量垂直，則其內積為零。由兩個垂直得到兩個等式，再結合向量的運算得到第三個等式，即得垂直。
思路七：
設高線BE,CF交于H,算出FH，隻要說明FH關于A，B對稱即可得到AD過H。
證明七：
設高線BE,CF交于H,
則△BFH∼△CFA,
∴FH*FC=FA*FB,
同理若高線AD,CF交于H',
則FH'*FC=FA*FB,
故H,H'重合，
即三條高線交于一點H。
思路八：
設高線BE,CF交于H,算出CH，隻要說明CH關于A，B對稱即可得到AD過H。
證明八：
設△ABC外接圓半徑為R。
設高線BE,CF交于H,
則△BAE∼△CHE,
∴CH=AB*CE/BE=BC*cosC/sinA=2RcosC,
同理若高線AD,CF交于H',
則CH’=2RcosC,
故H,H'重合，
即三條高線交于一點H。
思路九：
建立直角坐标系，用解析法即可證明。
證明九：
以BC，AD為x,y軸建立直角坐标系，
設坐标為A(0,a),B(b,0),C(c,0),H(0,h).
由BH⊥AC得
-h/b=c/a,
h=-bc/a,
由此表達式關于b,c對稱即知CH⊥AB，
即三條高線交于一點H。
思路十：
将垂心轉化為垂足三角形的内心。利用垂直得到共圓，從而得到等角，進而得到高線為垂足三角形的角平分線，利用三角形三條内角平分線交于一點得證。
證法十：
由AD、BE、CF為高線得AFDC共圓，
故∠FDB=∠BAC,
對稱的有∠EDC=∠BAC,
故AD為∠EDF内角平分線。
對稱的有BE平分∠DEF，
CF平分∠DFE。
由三角形的三條内角平分線交于一點（内心），
知AD、BE、CF共點于△DEF内心H，
即△ABC三條高線交于一點H。
最後對上述證明做一總結評價。
上述十種證明精彩紛呈、各有千秋，相對都比較簡潔。其中證法一、七、八是直接證明的，利用共圓及相似得到一些性質完成證明，簡潔明了、直擊肯綮；證法二、十是通過将垂心轉化為其他心（外心、内心）來證明的，移花接木、舉重若輕；證法三、四、五都是利用其他引理（定差幂線、塞瓦定理、根心定理等）來完成證明的，它山之石、可以攻玉；證法六和九是利用向量和坐标系來證明的，大智若愚、大巧若拙。
一言以蔽之，上述證明的基本思路可以說都是來源于垂心的性質，幾乎垂心的每一個性質都可以作為判定來證明垂心的存在性。
十種證法中，大多都是常見的。其中證法五、七、八、十是本人思考得到的，相對不是很常見，不過應該也很可能會與前人的想法“雷同”。
還有一些類似的相對複雜或者本質與上述某種證法相同的證法本文沒有收錄(例如利用角元塞瓦定理、利用複數或者其他坐标系等）。當然，囿于本人眼界，可能還有很多其他的巧妙的證法沒有收入，本文隻是抛磚引玉，希望大家斧正。
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