【典型例題】三角形的外接圓
知識點：
(1)隻有确定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一确定.
(2)經過一個已知點能作無數個圓.
(3)經過兩個已知點A、B能作無數個圓！這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.
(4)不在同一直線上的三個點确定一個圓.
(5)外接圓，外心的概念：經過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的内接三角形.
例題1．如圖，在△ABC中，BC=24 cm，外心O到BC的距離為6 cm，求△ABC外接圓的半徑．解：過點O作OD⊥BC于點D，連接OB，
則OD=6 cm，BD= BC=12（cm）． ∴OB= =6 （cm）． ∴△ABC外接圓的半徑為6 cm． 例題2． 如圖，在△ABC中，BC=12 cm，AB=AC，∠BAC=120°． （1）作△ABC的外接圓（隻需作出圖形，并保留作圖痕迹）； （2）求△ABC的外接圓的直徑． 解：（1）如圖，分别作出AB，BC的垂直平分線． 根據“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”， 得OA=OB=OC， ∴兩條直線的交點O即為圓心． 以點O為圓心，OA的長為半徑所作的⊙O即為△ABC的外接圓． （2）連接OC． ∵BC=12 cm，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠CAO=60°，OC=OA，BM=MC=6 cm， ∴△OAC是等邊三角形， ∴OA=OC=AC，∴∠MOC=60°， ∴OC=4 cm． ∴△ABC的外接圓的直徑是8 cm． 例題3． 如圖，小明家的房前有一塊空地，空地上有三棵樹A，B，C，小明想建一個圓形花壇，使三棵樹都在花壇的邊上． （1）請你幫小明把花壇的位置畫出來（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕迹）； （2）若在△ABC中，AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，試求小明家圓形花壇的面積． 解：（1）略． （2）∵∠BAC=90°，AB=8米，AC=6米， ∴BC=10米． ∵直角三角形的外心在斜邊的中點處， ∴△ABC外接圓的半徑為5米， ∴小明家圓形花壇的面積為25π平方米． 例題4． 如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE⊥AB交BC于點D，交⊙O于點E，F在DA的延長線上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD= ，求⊙O的直徑． 解：如圖，連接BE． ∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD． ∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E． ∵tan∠ABD= ，∴tanE=tan∠FBA= ． 在Rt△ABF中，∠BAF=90°． ∵tan∠FBA= = ，AF=3，∴AB=4． ∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直徑． ∵tanE= ，∴設AB=3x，AE=4x， ∴BE=5x． ∵AB=4，∴3x=4，解得x= ，∴BE=5x= ． 即⊙O的直徑是 ． 例題5 ．【操作與探究】 我們知道：過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，探究過四邊形四個頂點作圓的條件． （1）分别測量如圖①②③中各四邊形的内角，如果過某個四邊形的四個頂點能作一個圓，那麼其相對的兩個角之間有什麼關系？ （2）如果過某個四邊形的四個頂點不能作一個圓，那麼其相對的兩個角之間有上面的關系嗎？試結合圖④⑤中的兩個圖說明其中的道理．（提示：考慮∠B+∠D與180°之間的關系） （3）由上面的探究，試歸納出判定過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件． 解：（1）對角互補（對角之和等于180°）． （2）沒有．在圖④中，∠B+∠D<180°，< span=''> 在圖⑤中，∠B+∠D>180°． （3）過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件對角互補（對角之和等于180°）．
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