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高考數學必殺技系列之導數3 函數的零點隐零點及零點賦值問題

專題3 函數的零點、隐零點及零點賦值問題

一、考情分析

函數與導數一直是高考中的熱點與難點,函數的零點、隐零點及零點賦值問題是近年高考的熱點及難點,特别是隐零點及零點賦值經常成為導數壓軸的法寶.

二、解題秘籍

(一) 函數零點個數問題

用導數研究函數的零點,一方面用導數判斷函數的單調性,借助零點存在性定理判斷;另一方面,也可将零點問題轉化為函數圖象的交點問題,利用數形結合來解決.對于函數零點個數問題,可利用函數的值域或最值,結合函數的單調性、草圖确定其中參數範圍.從圖象的最高點、最低點,分析函數的最值、極值;從圖象的對稱性,分析函數的奇偶性;從圖象的走向趨勢,分析函數的單調性、周期性等.但需注意探求與論證之間區别,論證是充要關系,要充分利用零點存在定理及函數單調性嚴格說明函數零點個數.

(二)零點存在性賦值理論

1.确定零點是否存在或函數有幾個零點,作為客觀題常轉化為圖象交點問題,作為解答題一般不提倡利用圖象求解,而是利用函數單調性及零點賦值理論.函數賦值是近年高考的一個熱點, 賦值之所以“熱”, 是因為它涉及到函數領域的方方面面:讨論函數零點的個數(包括零點的存在性, 唯一性); 求含參函數的極值或最值;證明一類超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數取值範圍等,零點賦值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求賦值點 m (假定 m

2.賦值點遴選要領:遴選賦值點須做到三個确保:确保參數能取到它的一切值;确保賦值點 x0 落在規定區間内;确保運算可行

三個優先:(1)優先常數賦值點;(2)優先借助已有極值求賦值點;(3)優先簡單運算.

(三)隐零點問題

1.函數零點按是否可求精确解可以分為兩類:一類是數值上能精确求解的,稱之為“顯零點”;另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的,稱之為“隐零點”。

2.利用導數求函數的最值或單調區間,常常會把最值問題轉化為求導函數的零點問題,若導數零點存在,但無法求出,我們可以設其為

,再利用導函數的單調性确定

所在區間,最後根據

,研究

,我們把這類問題稱為隐零點問題.注意若

中含有參數a,關系式

是關于

,a的關系式,确定

的合适範圍,往往和a的範圍有關.

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