當前位置：首頁 > 教育 > 正文

初中數學，用四點共圓的性質可以使複雜的題目變得簡單易解

雖然在初中數學新課程标準下，四點共圓不再做要求，但是我們在解題的過程中如果靈活的運用四點共圓的性質，可以使複雜的題目變得簡單易解。況且在高中階段，高中老師會默認你在初中已經學會了這個知識，遇到了不會再進行過多講解，所以無論從哪方面講，我們都應該掌握好四點共圓的性質。

數學接龍

一、圓的内接四邊形的性質：

如果同一平面内的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為'四點共圓'。

1）圓内接四邊形的對角互補：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°；

2）圓内接四邊形的任意一個外角等于它的内對角：∠CBE=∠ADC；

3）圓心角的度數等于所對弧的圓周角的度數的兩倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB；

4）共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等，即同弧所對的圓周角相等；

5）圓内接四邊形對應三角形相似：△ABP∽△DCP（三個内角對應相等）

6）相交弦定理：AP×CP=BP×DP（例5）

四點共圓

而利用圓的内接四邊形解題，又分為兩種情形：一是直接利用圓的内接四邊形的性質解題；二是構造共圓，然後再利用圓的的知識和性質解題。

二、直接利用圓的内接四邊形的性質解題

例1、如圖，四邊形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，則它的一個外角∠DCE等于(　　)

A．69° B．42° C．48° D．38°

答案：選A （圓内接四邊形的任意一個外角等于它的内對角）

例2、(·涼山中考)如圖，已知四邊形ABCD内接于半徑為4的⊙O中，且∠C＝2∠A，則BD＝________．

例3、如圖，在⊙O的内接五邊形ABCDE中，∠CAD＝35°，則∠B＋∠E＝（ ）

解：∵四邊形ABCD與四邊形ACDE是圓的兩個内接四邊形

∴∠B+∠ADC = 180°

∠E+∠ACD = 180°（圓内接四邊形的對角互補）

∠B+∠E+∠ADC +∠ACD = 360°

而在△ACD中，∠ADC+∠CDA+∠ACD = 180°

∴∠ADC+∠ACD = 180°-35°= 145°

∴ ∠B＋∠E＝360°-145°=215°

例4、(2019·台州)如圖，AC是圓内接四邊形ABCD的一條對角線，點D關于AC的對稱點E在邊BC上，連接AE.若∠ABC＝64°，則∠BAE的度數為 ．

解：∵∠ABC＝64°

∴∠ADC＝116° （圓内接四邊形的對角互補）

又點D關于AC的對稱點E在邊BC上

∴∠AEC＝116°

∴∠BAE = ∠AEC -∠ABC = 116°-64°=52°

例5、ABCD為圓的内接四邊形，且其對角線AC與BD相交于點P，請證明相交弦定理：AP×CP=BP×DP

證明：∵共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等

∴AB邊所對的∠BCA = ∠BDA

同理CD邊所對的∠CBD = ∠CAD

∴△BCP ∽△ADP

∴AP×CP=BP×DP

三、構造共圓，然後再利用圓的的知識和性質解題

例6、已知：如圖，O 是半圓的圓心，C、E 是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求證：CD=GF

證明：作 GH⊥AB，連接 EO．

∵EF⊥AB，EG⊥CO，

∴∠EFO=∠EGO=90°，

∴G、O、F、E 四點共圓， （四邊形的對角互補，那麼四點共圓）

所以∠GFH=∠OEG， （共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等）

又∵∠GHF=∠EGO，

∴△GHF∽△OGE，

∵CD⊥AB，GH⊥AB，

∵GH∥CD，

∴EO/GF=GO/GH=CO/CD

又∵CO=EO，

∴CD=GF．

例7、設 P 是平行四邊形 ABCD 内部的一點，且∠PBA=∠PDA．

求證：∠PAB=∠PCB．

證明：作過 P 點平行于 AD 的直線，并選一點 E，使 PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四邊形 AEPD 是平行四邊形，四邊形 PEBC 是平行四邊形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP 共圓（一邊所對兩角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB

你可能想看：

“四點共圓”判定定理的直接證明

則∠AOB=2∠D=2∠C。∠AOB=2∠C。關注到核心條件有∠AOB=2∠C。所以∠BOC=∠AOB/2=∠ACB，又∠CBD+∠OBD=∠OBE+∠OBD:∠BDA=∠AOB/2=∠ACB，又∠A...

初中數學學霸會用矩形的性質解決簡單的證明和計算問題

1、掌握矩形的概念、判定與性質，理解矩形與平行四邊形的之間的聯系；2、會用矩形的性質解決簡單的證明和計算問題；3、從矩形與平行四邊形的區别與聯系體會特殊與一般的關系，1.利用矩形的性質解決邊和角的問題...

利用圓的周長和面積竟然可以計算如此複雜的圖形，分割法的妙用

利用圓的周長和面積竟然可以計算如此複雜的圖形，這節課我們繼續學習複雜圖形的周長和面積。我們知道圓環的面積等于外圓面積減去内圓面積，但是這個題目中外圓和内圓大的半徑都沒有給出。圖中陰影部分的面積可以表示...

女人會選擇戴男表 一般都逃不過這四點 女人會選擇戴男表 一般都逃不過這四點 廣告 　　原标題：女人會選擇戴男表，一般都逃不過這四點 　　作者：腕表時

我們聊到對腕表的喜好問題，她們大多更喜歡小巧精緻的手表“喜歡戴大表、男表的女性其實并不罕見，女人會選擇戴男表，對于喜歡大尺寸腕表的女性來說，有人喜歡大尺寸腕表。是因為她們認為大表徑的腕表更顯帥氣、幹練...

初中數學：12個角度剖析初中數學旋轉模型（一）

【小結】本題考查了折疊的性質、旋轉的性質、勾股定理的應用，【小結】考查圖形的旋轉，【小結】此題主要考查了矩形的性質以及坐标與圖形的性質和等腰三角形的性質根據△ODP 是腰長為 5的等腰三角形進行分類讨...

中考古詩詞題目及答案2021 中考古詩詞鑒賞題目

　　古詩詞鑒賞題是中考語文中經常出現的一種題型，縱觀曆年中考試題不難發現，這類題目一般文字淺易，下面小編就為大家帶來中考古詩詞題目及答案2021，　　(一)閱讀下面的詩，芭蕉雨聲秋夢裡，　　1. 曲中...

初中數學：二次根式的概念與性質-例題與求解（培優09）

運用二次根式性質解題應注意;先把原方程移項、去分母化簡，即可得到關于x、y的方程組，本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵在于對原方程進行化簡運算得到關于未知數的方程組.，再根據二次根式的性質化簡...

逆向思維：解決任何複雜的事情，都有簡單的辦法

任何複雜的事情都有最簡單的解決方法，很難靠同一個層次的思考來解決，解決一切複雜事物。快速提升自己的思維認知層次和心智模式，女士就會内心中非常自豪，和你自己内心中對同樣一件事的看法，很多都是你自己内心中...

逆向思維：複雜的事都有簡單的解決辦法，網絡賺錢就用一招

都需要最簡單的解決辦法去解決，複雜的事情你再用複雜的方法去解決，你就會發現任何複雜的事物，即使看起來成品再複雜完美，也是由一個個最簡單的模塊組合拼裝而成。當然也可以反向拆解出一個個最小的零件組合。學會...

【中考數學】金婷——解題研究：利用二次函數圖象的性質求出分式函數的最大值

點A、B分别在y軸、x軸的正半軸上．△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數y＝的圖像上．PA的延長線交x軸于點C，（1）求∠P的度數及點P的坐标；（3）△AOB的面積是否存在最大值，本題考查...

中考數學壓軸題：三角形折疊問題，翻折變換的性質

利用對稱的性質得到AE'=AB=10，然後就利用四邊形CME'N的面積=S△AE'N-S△ACM.進行計算.，也是先從确定一些特殊的對稱點開始的.也考查了射影定理和正方形的性質.“根據等邊三角形的三條...

江蘇大學，江南大學，江漢大學，究竟誰是“江大”？

江大所指的是江南大學，江南大學是教育部直屬、國家“重點建設高校“江南大學在全國範圍内也算是知名高校。1958年南京工學院食品工業系整建制東遷無錫”2001年無錫輕工大學、江南學院、無錫教育學院合并組建...

初中數學:145條幾何題公式定理彙總,轉給孩子,初中幾何再也不愁了

數學作為我們學習過程中的一個重點科目，在學習的時候就一定要将我們的基礎知識内容以及重點考點這些掌握到位，初中數學主要就是銜接我們的小學數學和初中數學的，初中數學不僅是将小學基礎知識内容進行反饋，也是為...

單純的人也許傻，複雜的人才會蠢

往往是因為輕信别人的善良。往往是因為高估自己的精明。有兩種人最不會陷入瑣屑的煩惱：不要做自己性格的奴隸，一個人不應該緻力于改變自己的性格，可見人是一種把理由看得比事情本身更重要的動物。這個例子說明了人...

隐藏的社會潛規則：揭秘複雜的人際關系

不要從細節裡全盤否定一個人。談錢傷感情，不談錢沒感情。不輕易否認别人喜歡的東西。輕易得到的東西往往不會被珍惜。不要再别人面前抱怨，不要拿順其自然來敷衍你的人生，别人會覺得理所應當。不要試圖讓别人理解你...

看懂了這些機械動圖，再複雜的機構原理也難不倒你

差速器解決了在向兩邊半軸傳輸動力的同時，無級變速技術采用傳動帶和工作直徑可變的主、從動輪相配合來傳遞動力，從而得到傳動系與發動機工況的最佳匹配無級變速器與常見的液壓自動變速器最大的不同是在結構上。後者...

十二原穴十五絡穴八會穴，複雜的經絡圖怎麼更好的掌握學習

十二經脈的絡穴位于四肢部肘膝關節以下，治療時可取列缺穴：（脾——公孫——沖脈——胃。内關陰維下總同，（心包——内關——陰維——同上），後溪督脈内眦頸。（小腸——後溪——督脈——目内眦，臨泣膽經連帶脈。...

主題：分享一個有點複雜的章綱方法

寫的不多的萌新容易寫的劇情毫無意義都是廢話，現在開始列todolist1.女主收到系統通知所有任務已經完成了，發現自己變回了一貧如洗（困境點）2.女主試探能不能解綁系統，系統哭喊拒絕（可愛的系統是萌點...

8道家常硬菜做法，家裡來客人不用愁，簡單易學，照着做就行

草雞1隻、蔥1顆、姜适量、花椒1匙、白酒1杯、醬油1杯、白糖1杯。把鍋裡剩餘的湯汁淋雞塊上即可，冰糖放入炒一，雞翅5個、紅辣椒2個、大蒜2顆、姜3塊、蔥1棵、植物油5g、料酒2勺、生抽1勺、老抽1勺，...

家要這樣裝修才符合人體工學，6個空間分區詳細講解，簡單易懂

就是科學合理的家具尺寸和擺放布局，玄關鞋櫃在選購或現場打造的時候，具體根據玄關吊頂的高度而定，燈光會被櫃子和身體遮擋，這種組合燈光可以使玄關擁有一個完整的照明系統，因此家具尺寸和擺放一定要符合人體工學...

易筋經秘籍教學，簡單易學！可疏通經絡，調理氣血不在話下！

練武術或許會很難，練武術的未來更是不可預知”你在練武術之後換來的依舊是一無所有。你至少不會對自己的行為而後悔，武術也會帶你給你不一樣的生活，隻要努力去學！武術絕對不會虧待真正努力的人，有時候在學武術的...

零基礎國畫入門教程（樹篇），不同樹的畫法，簡單易學，快收藏！

然後用重墨在樹幹的陰面加重刻畫，1.點皴法畫樹幹，然後用淡墨對樹幹加以皴筆，對樹幹的陰面進行點皴，可以用稍濃的墨色進行複皴；2.橫皴法畫樹幹，樹幹的陰面用墨可稍重一些，3.豎皴法畫樹幹，注意樹幹與樹枝...

山水畫基礎：樹幹的五種皴法詳細圖解教程，簡單易學，一起來臨摹

從整體生動上掌握畫樹的方法，用雙勾法畫樹，再畫右邊的輪廓，勾畫出樹幹的外輪廓，順着樹輪廓的走勢勾畫，以解鎖皴畫樹幹。勾畫出樹幹一側的輪廓。繼續向下勾畫左側枝幹輪廓，2.以相同的方法繪制出右邊樹幹的輪廓...

初中數學輔助線.專題學習，很多學生在數學...

初中數學輔助線.專題學習，很多學生在數學幾何知識點上，來看看這6張圖，肯定會讓你豁然開朗起來！原來數學也挺簡單的！三角形4個輔助線定理非常基礎，一定要牢記在心！考試的時候經常出現，平行四邊形的5個輔助...

初中數學必須掌握的9種證垂直的方法（下篇：數學方法技巧歸納）

由直角三角形的定義與三角形的内角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，∠CAB＝∠ACB：cos∠CAB＝7/8，∵ ∠CAB＝∠ACB，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為菱形，...

初中數學：證明兩條直線垂直的方法（上篇，數學方法技巧歸納）

BF分别平分∠DAB和∠ABC：∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，即∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠DEA＝∠EAB...

欠付工程價款利息的性質和計付标準

1、欠付工程價款利息的性質是違約金（逾期違約金）。發包人向承包人支付欠付工程款的利息或者逾期付款違約金，2、欠付工程價款利息的性質是法定孳息，司法實務中主流觀點認為欠付工程價款利息的性質是法定孳息，二...

四邊形共圓E例圓

上一篇
交易要有一緻性：什麼叫一緻性，就是每次方...

下一篇
怎樣練氣功 三種方法教你正确練習

有話要說...

最新文章

取消
掃碼支持 支付碼