數學與物理的學習中，不要錯誤的理解“初等”與“高等”
（這篇，對于一些朋友來講，比較無趣，就看到哪兒就哪兒吧，不過，我真心已經寫得盡量的容易理解了，水平有限，無法讓所有人都看明白。） 這個文章本應該在昨天晚上就完成的，不過，對自己的意志力看得太高了，所以，就又快到了中午。這還是今天京航放假半天才會有時機，那就快快開始寫吧。
其實，它本應該更早一些完成的，因為許晴姐姐在上一次的測試中，獲得了不理想的分數，同時彎彎在聽物競的課程的時候，也坐了一些飛機，她們兩個都遇見了一個共同的問題，那就是對于振動與波的理解問題。
這個問題為啥就這樣難以理解呢，原因就是人們（家長、老師和孩子）一直錯誤的理解了一個至關重要的問題：那就是，太多的人認為，初等數學和初等物理，它們相對于大學的高等數學和大學物理來講，就是菜雞都能夠學得懂的。
其實大多數人自己在當菜雞的時候，卻與自己的孩子一樣的，其實是不懂的。不對呀，這怎麼可能，自己當時可是自信心爆棚的，因為成績就擺在那裡呢，初中幾乎數學物理都是滿分，高中數學物理也都看得過去的。
這就是分數給自己和現在當家長的自己造成的困擾。 原因就是，這些分數并不是理解了問題本身，從而獲得的分數，而是通過自己的記憶與套公式計算出來的答案獲得的分數。它和理解了事物的本質相差何止十萬八千裡。
學過高等數學的人都應該知道，它其實是更容易理解的數學思考方式，至于算出什麼答案，在高等數學中，其實并不是很重要的問題，問題是，能不能夠正确的理解問題，分析問題，并得到各類方程，隻要方程正确，那麼用計算機去解它們就好了。千萬不要認為自己算題還不錯，在高等數學課中，随意一個微分方程的解，可能就會耗掉你一半頭發。人腦的計算能力與現在的機器比起來，還是算了吧。
對于孩子來講，理解問題并具備一定的計算能力就好了，什麼速算呀，巧算呀，不去練也不會失去啥的，把理解問題的能力提高，從而具備解決問題的能力，這才是核心的能力。 對于初等物理來講，就更是如此，大夥兒也許發現了一個問題，那就是，初等物理，用到的數學基礎實在是太少了，于是有人就會錯誤的認為，就那麼幾個公式，記住就好了，考試的時候套一套，數學學得好不好，幾乎與學不學得好物理沒有關系。 是這樣子的嗎，要知道，牛頓寫的那本書名字可是叫做《自然哲學的數學原理》，啥意思，意思就是，當你翻開它的時候，裡面出現的是大量的數學分析與推導。要是不具備良好的數學基礎，就還是算了吧。其實就算是具備了良好的高等數學基礎，當你翻開這本書的時候，還是會想丢下它的，原因呢，原因就是咱們現在學的高等數學的符号體系來源于萊布尼茲，牛頓使用的方法是流數法，它的符号體系并沒有被現代數學體系采用。
初中的物理内容是那些，高中的物理内容還是那些，其實到了大學的物理内容也還就是那些。原因是啥，原因就是，無論是初中，高中，還是大學的物理書，它都是在試圖讓這個年齡段的孩子能夠理解用它來描繪的世界，而從始至終都隻有這一個世界不是嗎？ 高中物理比初中描述深入一些，不過大學就不同了，大學其實就是高等數學的方法把高中的物理知識再重述一遍而已，當學了大學物理，就會突然發現，原來高中不理解的東西，不是因為自己的腦力不夠，而是在高中的時候，老師說這些公式都是通過實驗獲得的經驗公式，記住它，并會套用就可以了，其實根本就不是這麼回事兒，一旦這麼考慮問題，它就會讓孩子需要大量的時間去記憶它們，而并不是理解它們。 在這裡，我對學有餘力的孩子的推薦是，當你們發現自己對一個事情無法理喻的時候，嘗試改變自己理解這個事物的工具。
比如，對于物理問題最好的方式就是，簡單的學一下高等數學，這時，用高等數學的方式去理解物理，就會發現直觀而簡潔。當然了，這不是指，你在高中的時候就需要去學量子力學和電動力學（相對論），而是指學習與理解基礎力學。 回到具體的問題，那就是關于彎彎和許晴姐姐的問題：
在高中的時候，會學到機械運動中最簡單的運動之一：簡諧運動，它是這樣描述的：物體受力大小與位移成正比，而方向相反，人們把具有這種特征的振動稱為簡諧運動。 在初中，孩子們學到它受到一個回複力的作用，它的公式是這樣子的：
看到這個公式，一眼就可以看出，它是與時間沒關系的一個公式，而任何的運動，卻一下就可以知道它必然是與時間緊密聯系的，因為運動是一個過程！ 所以，到了高中，就給出了一個含有時間參數的方程：
這個方程和上面那個方程看似八杆子打不着，其實這兩個方程描述的是同一個運動，隻是一個隐藏了與時間的關系，一個方程明晃晃的把時間就放在那裡了。
上一個方程裡，方程兩邊同除以質量，左邊：力除以質量就是加速度，得到下面這個式子：
加速度裡就含着時間了，從這個方程可以看出來，加速度與振幅是線性關系。
我們再來看，把振動方程兩邊對時間求二階導數，（不知道許晴姐姐是否已經學過導數，高中是應該學這個内容的，彎彎是已經能夠理了。）就得到了下面這個方程：
看到了吧，它們就變成了同一個形式的方程。
不過，在牛頓表達簡諧運動的時候，他用的不是上面的任何一個方程。他用的是（用現代微分符号翻譯之後的樣子）：
也就是用微分方程，直接描述這個運動的狀态，它表述的是任何時刻簡諧運動的加速度與振幅相反，也就是指向振動平衡點，并與振幅呈線性關系。
然後，通過解微分方程的方式，得到的結果是，才是上面的振動方程。
有了振動方程，就可以描述當振動在介質裡傳播形成的波了，這就是波動方程。顯然它的形式與振動方程是一緻的（當然了，在中學隻考慮勻介質的情況下）。
在這裡，要清晰的理解一件事情，振動方程是描述一個質點在不同時刻的位置與時間的關系的方程。而波動方程是描述一列波在一個時刻的波形的樣子的。 好了，就寫到這裡吧。
希望，姐姐能夠認真看一下，隻要學過導數就一定能夠看懂的。 等彎彎回來，我們解一下這個微分方程吧，應該就可以理解這個運動的數學本質了。
其實，它本應該更早一些完成的，因為許晴姐姐在上一次的測試中，獲得了不理想的分數，同時彎彎在聽物競的課程的時候，也坐了一些飛機，她們兩個都遇見了一個共同的問題，那就是對于振動與波的理解問題。
這個問題為啥就這樣難以理解呢，原因就是人們（家長、老師和孩子）一直錯誤的理解了一個至關重要的問題：那就是，太多的人認為，初等數學和初等物理，它們相對于大學的高等數學和大學物理來講，就是菜雞都能夠學得懂的。
其實大多數人自己在當菜雞的時候，卻與自己的孩子一樣的，其實是不懂的。不對呀，這怎麼可能，自己當時可是自信心爆棚的，因為成績就擺在那裡呢，初中幾乎數學物理都是滿分，高中數學物理也都看得過去的。
這就是分數給自己和現在當家長的自己造成的困擾。 原因就是，這些分數并不是理解了問題本身，從而獲得的分數，而是通過自己的記憶與套公式計算出來的答案獲得的分數。它和理解了事物的本質相差何止十萬八千裡。
學過高等數學的人都應該知道，它其實是更容易理解的數學思考方式，至于算出什麼答案，在高等數學中，其實并不是很重要的問題，問題是，能不能夠正确的理解問題，分析問題，并得到各類方程，隻要方程正确，那麼用計算機去解它們就好了。千萬不要認為自己算題還不錯，在高等數學課中，随意一個微分方程的解，可能就會耗掉你一半頭發。人腦的計算能力與現在的機器比起來，還是算了吧。
對于孩子來講，理解問題并具備一定的計算能力就好了，什麼速算呀，巧算呀，不去練也不會失去啥的，把理解問題的能力提高，從而具備解決問題的能力，這才是核心的能力。 對于初等物理來講，就更是如此，大夥兒也許發現了一個問題，那就是，初等物理，用到的數學基礎實在是太少了，于是有人就會錯誤的認為，就那麼幾個公式，記住就好了，考試的時候套一套，數學學得好不好，幾乎與學不學得好物理沒有關系。 是這樣子的嗎，要知道，牛頓寫的那本書名字可是叫做《自然哲學的數學原理》，啥意思，意思就是，當你翻開它的時候，裡面出現的是大量的數學分析與推導。要是不具備良好的數學基礎，就還是算了吧。其實就算是具備了良好的高等數學基礎，當你翻開這本書的時候，還是會想丢下它的，原因呢，原因就是咱們現在學的高等數學的符号體系來源于萊布尼茲，牛頓使用的方法是流數法，它的符号體系并沒有被現代數學體系采用。
初中的物理内容是那些，高中的物理内容還是那些，其實到了大學的物理内容也還就是那些。原因是啥，原因就是，無論是初中，高中，還是大學的物理書，它都是在試圖讓這個年齡段的孩子能夠理解用它來描繪的世界，而從始至終都隻有這一個世界不是嗎？ 高中物理比初中描述深入一些，不過大學就不同了，大學其實就是高等數學的方法把高中的物理知識再重述一遍而已，當學了大學物理，就會突然發現，原來高中不理解的東西，不是因為自己的腦力不夠，而是在高中的時候，老師說這些公式都是通過實驗獲得的經驗公式，記住它，并會套用就可以了，其實根本就不是這麼回事兒，一旦這麼考慮問題，它就會讓孩子需要大量的時間去記憶它們，而并不是理解它們。 在這裡，我對學有餘力的孩子的推薦是，當你們發現自己對一個事情無法理喻的時候，嘗試改變自己理解這個事物的工具。
比如，對于物理問題最好的方式就是，簡單的學一下高等數學，這時，用高等數學的方式去理解物理，就會發現直觀而簡潔。當然了，這不是指，你在高中的時候就需要去學量子力學和電動力學（相對論），而是指學習與理解基礎力學。 回到具體的問題，那就是關于彎彎和許晴姐姐的問題：
在高中的時候，會學到機械運動中最簡單的運動之一：簡諧運動，它是這樣描述的：物體受力大小與位移成正比，而方向相反，人們把具有這種特征的振動稱為簡諧運動。 在初中，孩子們學到它受到一個回複力的作用，它的公式是這樣子的：
看到這個公式，一眼就可以看出，它是與時間沒關系的一個公式，而任何的運動，卻一下就可以知道它必然是與時間緊密聯系的，因為運動是一個過程！ 所以，到了高中，就給出了一個含有時間參數的方程：
這個方程和上面那個方程看似八杆子打不着，其實這兩個方程描述的是同一個運動，隻是一個隐藏了與時間的關系，一個方程明晃晃的把時間就放在那裡了。
上一個方程裡，方程兩邊同除以質量，左邊：力除以質量就是加速度，得到下面這個式子：
加速度裡就含着時間了，從這個方程可以看出來，加速度與振幅是線性關系。
我們再來看，把振動方程兩邊對時間求二階導數，（不知道許晴姐姐是否已經學過導數，高中是應該學這個内容的，彎彎是已經能夠理了。）就得到了下面這個方程：
看到了吧，它們就變成了同一個形式的方程。
不過，在牛頓表達簡諧運動的時候，他用的不是上面的任何一個方程。他用的是（用現代微分符号翻譯之後的樣子）：
也就是用微分方程，直接描述這個運動的狀态，它表述的是任何時刻簡諧運動的加速度與振幅相反，也就是指向振動平衡點，并與振幅呈線性關系。
然後，通過解微分方程的方式，得到的結果是，才是上面的振動方程。
有了振動方程，就可以描述當振動在介質裡傳播形成的波了，這就是波動方程。顯然它的形式與振動方程是一緻的（當然了，在中學隻考慮勻介質的情況下）。
在這裡，要清晰的理解一件事情，振動方程是描述一個質點在不同時刻的位置與時間的關系的方程。而波動方程是描述一列波在一個時刻的波形的樣子的。 好了，就寫到這裡吧。
希望，姐姐能夠認真看一下，隻要學過導數就一定能夠看懂的。 等彎彎回來，我們解一下這個微分方程吧，應該就可以理解這個運動的數學本質了。
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